大手前高松中2015 大問6｜等差数列（規則性）の解き方を解説

この問題について

大手前高松中 2015 年度の大問 6 は，数の規則性（等差数列）の問題です。4, 11, 18, 25, … と並ぶ整数について，8 番目の数や「172 は何番目か」を求めます。

ポイントは，いくつずつ増えているかを見つけ，1 番目からどれだけ増えたかで考えることです。この見方さえできれば，何番目の数でも求められ，逆に「ある数が何番目か」も求められます。この記事では次のことを解説します。

• 数の並びから「いくつずつ増えるか」を読みとる方法
• 「1 番目より何回ぶん増えたか」で○番目の数を求める考え方
• 同じ見方を逆にたどって「何番目か」を求める方法

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6 （1）

ある規則に並んだ整数 4, 11, 18, 25, …… があります。

8 番目の整数はいくつですか。

難易度: ★☆☆☆☆　 分野: 数の規則性（等差数列） 目安時間: 2分

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まず，いくつずつ増えているかを調べます。となりどうしの差を見ると，

$$11 - 4 = 7, \quad 18 - 11 = 7, \quad 25 - 18 = 7$$

どこも 7 ずつ増えています。つまり，1 番目の 4 から 7 を足していくと数が並びます。

ここで大切なのは，1 番目からどれだけ増えたかで考えることです。下の表のように，2 番目は 1 番目より 7 が 1 回，3 番目は 7 が 2 回ぶん増えています。

○番目	1	2	3	4	…
整数	4	11	18	25	…
1番目から増やした7の回数	0 回	1 回	2 回	3 回	…

注意したいのは，1 番目はまだ 1 回も足していないので 0 回，という点です。だから増やす回数は，番号より 1 少なくなります。

8 番目は 1 番目より，7 を

$$8 - 1 = 7 \text{ (回)}$$

ぶん増やしたところです。だから 8 番目の整数は，

$$4 + 7 \times 7 = 4 + 49 = 53$$

（答）53

KRONE ポイント

隣よりもどれだけ増えるかと見てはいけません。 大切なことは、1 番目よりもどれだけ増えたか を考えましょう。

ここまでの考え方をまとめると，次のように書けます。何番目でも同じように求められます。

○番目の整数の求め方（まとめ）

○番目の整数 ＝ 4 ＋ 7 ×（○ − 1）

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6 （2）

172 は何番目の数ですか。

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 数の規則性（逆算） 目安時間: 3分

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(1) と同じく，1 番目からどれだけ増えたかで考えます。172 は 1 番目の 4 よりも

$$172 - 4 = 168$$

増えています。隣にいくたびに 7 増えるので、この 168 は 7 の

$$168 \div 7 = 24 \text{（回）}$$

ぶんです。つまり 172 は，1 番目から 7 を 24 回ぶん増やしたところにあります。

ここで (1) の注意を思い出してください。1 番目から 24 回ぶん増えたところは，1 番目を 1 と数えるので，番号は 24 より 1 大きくなります。

$$24 + 1 = 25 \text{(番目)}$$

念のため確かめると，1 番目から 7 を 24 回ぶん増やした数は $4 + 7 \times 24 = 4 + 168 = 172$ で，たしかに 172 になります。

（答）25 番目

KRONE ポイント

「何番目か」も考え方は同じです。1 番目からどれだけ増えたかを増える数でわって，何回ぶんかを出します。1 番目を 1 と数えるので，最後に 1 を足して番号に直します。

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例題で確かめよう

規則性の考え方が身についたか，似た問題で確かめてみましょう。

（例題1）3, 8, 13, 18, …… と並ぶ整数があります。10番目の数はいくつですか。

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差は $8 - 3 = 5$ なので，5 ずつ増えています。10 番目は 1 番目より，5 を $10 - 1 = 9$ 回ぶん増やしたところなので，

$$3 + 5 \times 9 = 3 + 45 = 48$$

（答）48

（例題2）3, 8, 13, 18, …… と並ぶ整数があります。98は何番目の数ですか。

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98 は 1 番目の 3 より $98 - 3 = 95$ 増えています。これが 5 の何回ぶんかを考えると，

$$95 \div 5 = 19 \text{(回)}$$

1 番目から 19 回ぶん増えたところなので，番号は $19 + 1 = 20$ 番目です。

（答）20 番目

（例題3）4, 11, 18, 25, …… の並びで、100に一番近い数はいくつですか。

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100 が何番目あたりかを調べます。100 は 1 番目より $100 - 4 = 96$ 増えていて，$96 \div 7 = 13$ あまり $5$ です。7 を 13 回ぶん増やすと $4 + 7 \times 13 = 95$（14 番目），もう 1 回増やすと $95 + 7 = 102$（15 番目）です。

95 と 102 では，100 との差はそれぞれ 5 と 2 なので，100 に一番近いのは 102 です。

（答）102

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この問題から学ぶこと

大問 6 で問われているのは，規則を見つけて，1 番目からどれだけ増えたかで考える力です。

まず「いくつずつ増えるか」を差で確かめ，次に「1 番目より何回ぶん増えたか」を考える。この見方ができれば，(1) のように何番目の数でも求められ，(2) のように逆にたどれば「何番目か」も求められます。公式を覚えるより，この考え方そのものを身につけるほうが，初めて見る問題に強くなります。

つまずきやすいのは，○番目だから○回増やす，と数えてしまう「1 ずれ」です。1 番目はまだ 1 回も足していない——この感覚は植木算とまったく同じで，「間の数は木の数より 1 少ない」のと同じ考え方です。規則性の問題は，この 1 ずれを落ち着いておさえられるかで差がつきます。

なお，この「同じ数ずつ増える並び」は，中学・高校では 等差数列と呼ばれ，○番目の数を $a + (n-1)d$ という式で表します。今おさえた「1 番目 ＋ 増える数 ×（番号 − 1）」は，その式そのものです。小学生のうちに考え方の中身を理解しておくと，上の学年でつまずきません。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，規則性の問題を「公式を覚えて当てはめる」のではなく，1 番目からどれだけ増えたかを自分の言葉で説明できるところまで指導します。表を書いて「1 番目は 0 回，2 番目は 1 回…」と確かめれば，1 ずれは丸暗記しなくても納得できます。

「何番目か」を求めるときも，「1 番目からどれだけ増えたか → それは増える数の何回ぶんか → 1 番目を 1 と数えて 1 を足す」という考え方を，声に出して確かめながら進めます。考え方を言葉にできるようになると，初めて見る数の並びでも落ち着いて解けるようになります。反復練習には，登録不要・無料で使えるクローネらぼもご活用ください。

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