愛光中2013 大問4｜カードの数字の和から引いた回数を求める

この問題について

愛光中学校 2013 年度（平成 25 年度）の大問 4 は、3・5・8 の数字が書かれたカードを何回も引いて、出た数字の和を作る問題です。和はわかっているけれど、どのカードを何回引いたかはわからない——そこから回数を求めていきます。

むずかしいのは、何種類かのカードが混ざっていて、和だけからは何回ずつ引いたか決まらないように見えることです。(1) は 2 種類、(2) は 3 種類と、混ざる種類が増えていきます。(3) ではさらに「和を 1 回多く足してしまった」という条件が加わります。どこに着目すれば回数が決まるのか、まずは自分で考えてみてください。

同じ愛光中の2013年 大問3（速さの比・追いつき）・2013年 大問2（比の文章題）・2010年 大問2（速さの比）の解説もあわせてご覧ください。

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愛光中（2013）4

3・5・8 の数字が書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつあります。この中からカードを 1 枚引き、出た数字を記録してから元にもどすことをくり返し、最後にそれまで記録した数字の和を計算します。例えば、3 回カードを引いた結果が 3・3・5 のとき、和は 11 です。このとき、次の問いに答えなさい。

• （1）カードを 10 回引いたとき、3 と 5 のカードだけが出て、その和は 36 でした。5 のカードを何回引きましたか。
• （2）カードを 7 回引いたとき、3 と 5 と 8 のカードがすべて出て、その和は 37 でした。3 のカードを何回引きましたか。
• （3）カードを 9 回引いて和を計算するときに、間違えてある数字を 1 回多く足してしまいました。その結果、和は 57 になりました。8 のカードを何回引きましたか。考えられる回数をすべて答えなさい。

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4 （1）

カードを 10 回引いたとき、3 と 5 のカードだけが出て、その和は 36 でした。5 のカードを何回引きましたか。

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3 のカードと 5 のカードが、合わせて 10 回出て、和が 36 です。何回ずつかはまだわかりません。そこで、いったん 10 回すべてが 5 のカードだったと仮定します。

10 回すべてが 5 のカードなら、和は

5 × 10 ＝ 50

実際の和は 36 なので、仮定した 50 より 14 小さいことになります。

50 − 36 ＝ 14

この 14 は、どこから生まれたのでしょうか。5 のカードだと思っていたものの中に、本当は 3 のカードが混じっていたからです。5 を 1 枚 3 に置きかえるたびに、和は

5 − 3 ＝ 2

ずつ小さくなります。14 小さくするには、置きかえた回数は

14 ÷ 2 ＝ 7（回）

つまり 3 のカードが 7 回出ています。全体は 10 回なので、5 のカードは

10 − 7 ＝ 3（回）

（答）5 のカードは 3 回

KRONE ポイント

「3 と 5 が混ざって和が 36」だけでは手が出ません。いったん全部を 1 種類に決めてしまう——ここでは「全部 5」と仮定して和 50 を作る。それが、正体のわからない混ざりものに手がかりを与えます。仮定の和 50 と実際の 36 の差 14 は、「5 を 3 に置きかえた分」だけ生まれたもの。1 回の置きかえで 2 ずつ縮むから、14 ÷ 2 で置きかえた回数が出ます。これがつるかめ算の骨組みです。

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4 （2）

カードを 7 回引いたとき、3 と 5 と 8 のカードがすべて出て、その和は 37 でした。3 のカードを何回引きましたか。

答え・解説を見る

今度は 3 種類が混ざります。(1) と同じで、いったん全部を一番大きい 8 のカードと仮定します。

7 回すべてが 8 のカードなら、和は

8 × 7 ＝ 56

実際の和 37 との差は

56 − 37 ＝ 19

この 19 は、8 を 5 や 3 に置きかえたことで生まれた縮みの合計です。1 回の置きかえで縮む大きさは、カードの数字の差で決まります。

8 − 5 ＝ 3

8 − 3 ＝ 5

8 を 5 に置きかえると 3 縮み、8 を 3 に置きかえると 5 縮みます。この「3 縮み」と「5 縮み」を組み合わせて、ちょうど 19 を作ります。

$$\begin{aligned} 19 &= 5 \times 2 + 3 \times 3 \end{aligned}$$

5 縮みを 2 回、3 縮みを 3 回で 19 です。これは、8 を 3 に置きかえたのが 2 回、8 を 5 に置きかえたのが 3 回、という意味です。置きかえなかった 8 のカードは

7 − 2 − 3 ＝ 2（回）

まとめると、3 のカードは 2 回、5 のカードは 3 回、8 のカードは 2 回です。3 種類ともすべて 1 回以上出ていて、回数の合計も 7 回になっているので、条件に合います。

（答）3 のカードは 2 回

別の見方でも確かめられます。3・5・8 がすべて 1 回は出ているので、その 3 枚ぶん（3 ＋ 5 ＋ 8 ＝ 16）を先に取り分けると、残りは

37 − 16 ＝ 21

これを、残り 4 回ぶんの 3・5・8 の和で作ります。21 ＝ 8 × 2 ＋ 5 × 1 なら残りは 3 枚で 4 回に足りず、21 ＝ 8 × 1 ＋ 5 × 2 ＋ 3 × 1 なら残り 4 回にちょうど合います。どちらの見方でも、3 が 2 回・5 が 3 回・8 が 2 回にたどりつきます。

KRONE ポイント

2 種類のときは「置きかえ 1 回で 2 縮む」の 1 通りでした。3 種類になると、縮み方が「3 縮み」と「5 縮み」の 2 通りに増えます。縮みの種類を先に整理してから、差をぴったり作る組み合わせをさがす——これが 3 種類のつるかめ算の進め方です。やみくもに数を当てはめるのではなく、1 回あたりの効き目を書き出してから組むと、迷わず絞りこめます。

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4 （3）

カードを 9 回引いて和を計算するときに、間違えてある数字を 1 回多く足してしまいました。その結果、和は 57 になりました。8 のカードを何回引きましたか。考えられる回数をすべて答えなさい。

答え・解説を見る

引いたのは 9 回ですが、ある数字を 1 回多く足したので、和 57 は「10 回ぶんの数字を足した和」と同じになっています。そこで、カードを 10 回引いたと考えて和 57 を作り、あとから多く足した 1 枚を戻します。

10 回すべてが 8 のカードなら、和は

8 × 10 ＝ 80

実際の 57 との差は

80 − 57 ＝ 23

(2) と同じように、8 を 5 に置きかえると 3 縮み、8 を 3 に置きかえると 5 縮みます。23 を「3 縮み」と「5 縮み」で作る組み合わせは、2 通りあります。

$$\begin{aligned} 23 &= 5 \times 4 + 3 \times 1 \\ 23 &= 5 \times 1 + 3 \times 6 \end{aligned}$$

上の 23 ＝ 5 × 4 ＋ 3 × 1 は、8 を 3 に置きかえたのが 4 回、8 を 5 に置きかえたのが 1 回。このとき 10 回の内訳は、3 が 4 回・5 が 1 回・8 が 5 回です。

下の 23 ＝ 5 × 1 ＋ 3 × 6 は、8 を 3 に置きかえたのが 1 回、8 を 5 に置きかえたのが 6 回。このとき 10 回の内訳は、3 が 1 回・5 が 6 回・8 が 3 回です。

ここまでは「10 回ぶん」の話です。実際に引いたのは 9 回なので、多く足した 1 枚をどれにするかで、8 の回数が変わります。多く足せるのは、その数字が実際に出ているカードだけです。

まず 3 が 4 回・5 が 1 回・8 が 5 回の内訳から。

• 多く足したのが 8 なら、実際の 8 は 5 − 1 ＝ 4 回
• 多く足したのが 3 なら、実際の 8 はそのまま 5 回

つぎに 3 が 1 回・5 が 6 回・8 が 3 回の内訳から。

• 多く足したのが 8 なら、実際の 8 は 3 − 1 ＝ 2 回
• 多く足したのが 5 なら、実際の 8 はそのまま 3 回

出てきた 8 の回数を集めると、2 回・3 回・4 回・5 回です。どれも、実際に引いた 9 回のうちに多く足した数字がきちんと 1 回以上あり、成り立ちます。

（答）2 回・3 回・4 回・5 回

KRONE ポイント

この問いのむずかしさは、つるかめ算そのものではなく、「1 回多く足した」を回数のずらしに置きかえるところにあります。多く足した和 57 は、10 回引いたときの和と同じ。だから 10 回で内訳を出し、そこから多く足した 1 枚を戻して 9 回に直します。戻す数字が 3・5・8 のどれかで場合が分かれるので、すべての場合を書き出して数え落とさないのが、「すべて答えなさい」への答え方です。

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この問題から学ぶこと

大問 4 は、(1)(2)(3) がすべて つるかめ算の同じ骨組みでできています。「いったん全部を 1 種類のカードと仮定し、実際の和との差を、置きかえた回数として読み取る」——この 1 つの型を、少しずつ形を変えて 3 回使います。

(1) は 2 種類なので、置きかえ 1 回で縮む大きさが 1 通り（2）でした。(2) は 3 種類に増え、縮み方が「3 縮み」「5 縮み」の 2 通りになりました。1 回あたりの効き目を先に書き出し、差をぴったり作る組み合わせをさがす、という進め方が加わります。(3) は、そこに「和を 1 回多く足した」という条件が重なります。多く足した和は 10 回ぶんの和と同じだから、10 回で内訳を出してから 1 枚戻す、と回数をずらして考えます。

つまずきやすいのは 2 か所です。1 つは (2) で、縮みの組み合わせを整理せずに数を当てはめようとして、時間を使ってしまうこと。「3 縮み」「5 縮み」を先に書き出すのが近道です。もう 1 つは (3) で、10 回の内訳を出したところで満足してしまい、多く足した 1 枚を戻すのを忘れること。問われているのは実際に引いた 9 回での 8 の回数なので、戻す一手が要ります。しかも戻す数字で場合が分かれるため、すべて書き出さないと数え落とします。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、つるかめ算を「面積図に当てはめる型」として覚えさせるのではなく、「まず全部を 1 種類に決めてしまう」という発想そのものを身につけてもらいます。混ざっていて手が出ないものは、いったん 1 つに固定すると、実際とのちがい（差）が手がかりになる。この考え方は、カードでも、つるとかめでも、速さでも、同じように効きます。

考える力を育てる指導のポイント: 混ざっているものが出てきたら「もし全部が◯◯だったら？」と仮定させます。仮定した答えと実際の差がどこから生まれたかを問い返すと、置きかえの回数という次の手がかりが見えてきます。公式の形を覚えるより、この「固定して差を読む」動きを自分で起こせることが、初めて見る問題に向かう力になります。

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つるかめ算（カードの和）の解き方（まとめ）

• 混ざっていて回数がわからないときは、いったん全部を 1 種類と仮定して和を作る
• 仮定した和と実際の和の差は、置きかえによって生まれた縮みの合計とみなす
• 置きかえ 1 回で縮む大きさは、カードの数字の差で決まる（8→5 なら 3、8→3 なら 5）
• 3 種類のときは、縮みの種類を先に書き出してから、差をぴったり作る組み合わせをさがす
• 「1 回多く足した」和は、1 回多く引いたときの和と同じ。回数を 1 増やして内訳を出し、あとから 1 枚戻す
• 「すべて答えなさい」では、場合分けをもれなく書き出して数え落とさない

同じ愛光中の2013年 大問3（速さの比・追いつき）・2013年 大問2（比の文章題）・2010年 大問2（速さの比）の解説もあわせてご覧ください。

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