愛光中2013 大問1(6)〜(9)｜円とひし形・平均・倍数・折り返しを解説

まず、この図のしくみをつかみます。ひし形は 1 辺が 6cm、対角線 BD が 6cm です。BD とひし形の 1 辺が同じ長さなので、三角形 ABD と三角形 CBD は、どちらも 1 辺 6cm の正三角形です。

円は直径 BD ＝ 6cm、つまり半径 3cm で、中心は BD のまん中にあります。中心から各辺におろすと、円はひし形の 4 つの辺のまん中（中点）をちょうど通り、頂点 A・C は円の外に、B・D は円周上にあります。

中心とひし形の頂点・辺の中点をすべて結ぶと、ひし形は1 辺 3cm の正三角形 6 個にきれいに分かれます。ここまで見えると、角度が 60°・120° と気持ちよく出てきます。

① 外側の太線の長さ

太線は、A 側・C 側ではひし形の辺（正三角形の辺）を通り、B 側・D 側では円弧を通ります。

• A 側と C 側の尖った部分は、1 辺 3cm の正三角形の辺が、上下で合わせて 4 本分
• B 側と D 側は、それぞれ中心角 120° の円弧が 2 つ分

円弧は、半径 3cm の円の周 $2 \times 3 \times 3.14 = 18.84$ cm のうち、$120°$ が 2 つ、つまり $\dfrac{120 \times 2}{360} = \dfrac{2}{3}$ ぶんです。

合わせて

② 斜線部分の面積の和

斜線は、A 側・C 側の「ひし形の中で円の外」の部分と、B 側・D 側の「円の中でひし形の外」の部分に分かれています。ばらばらのまま計算するのは大変です。そこで等積移動を使います。

A 側・C 側の斜線には、円弧でへこんだ弓形の切れ込み（図の水色）があります。この弓形は、B 側・D 側で円がひし形からはみ出た弓形と、形も大きさもぴったり同じです。切れ込みを、はみ出た方へ移してうめると、斜線全体はすき間なく 1 つの形に集まります。

集めてできる形は、中心角 120° のおうぎ形 1 つです。半径は 3cm なので

平均の問題は、てんびんで考えると見通しがよくなります。全体の平均 76 点を支点にして、それぞれのグループが「平均から何点はなれているか」と「人数」を、てんびんのつり合いで結びつけます。

3 つのグループを、平均 76 点からのはなれ方で整理します。

• 70 点未満（平均 57 点）… 平均より 19 点低い（$76 - 57 = 19$）
• 70 点以上 80 点未満（平均 78 点）… 平均より 2 点高い（$78 - 76 = 2$）
• 80 点以上（平均 84 点）… 平均より 8 点高い（$84 - 76 = 8$）

てんびんは、支点の左右で「はなれた点数 × 人数」（モーメント）がつり合います。70 点未満の人数を ① とすると、80 点以上はその 2 倍の ②（＝ ① × 2）です。70 点以上 80 点未満の人数を「中」と呼んで、つり合いを考えます。

平均より下にあるのは 70 点未満だけで、そのモーメントは「19 点 × ①」。 平均より上にあるのは 2 つで、「2 点 ×（中の人数）」と「8 点 × ②」。これがつり合うので、

ここに ② ＝ ① × 2 を入れると、右がわの「8 × ②」は「16 × ①」になります。両がわから「16 × ①」を取ると

つまり中の人数は ① の 1.5 倍（図の 1.5）です。これで 3 グループの人数が、すべて ① で表せます。

まとめると 4.5 × ①。これが 54 人なので、

両がわを 4.5 でわると、① の人数が出ます。

70 点未満は 12 人。70 点以上 80 点未満は「① の 1.5 倍」なので

（80 点以上は 12 × 2 ＝ 24 人です。）

いちばん条件のきびしい倍数から決めるのが鉄則です。

手順 1：D を決める（5 の倍数） BCD が 5 の倍数なので、一の位の D は 0 か 5 です。使える数字は 1〜5 なので、D ＝ 5 に決まります。

手順 2：C を決める（4 の倍数の性質） ABC が 4 の倍数です。4 の倍数は下 2 けた（BC）が 4 の倍数であればよく、さらに「4 の倍数 ＝ 一の位 C が偶数」でもあります。残っている数字 1、2、3、4 のうち、C は偶数なので C は 2 か 4。

手順 3：CDE が 3 の倍数 3 の倍数は各位の和が 3 の倍数です。D ＝ 5 なので、C ＋ 5 ＋ E が 3 の倍数になる必要があります。C が 2 か 4 で場合分けします。

• C ＝ 2 のとき：$2 + 5 + E = 7 + E$ が 3 の倍数になる必要があります。残る数字 1、3、4 で試すと、$7+1=8$、$7+3=10$、$7+4=11$ で、どれも 3 の倍数になりません。不適です。
• C ＝ 4 のとき：$4 + 5 + E = 9 + E$ が 3 の倍数 → E は 3 の倍数。残る 1、2、3 のうち E ＝ 3

C ＝ 4、D ＝ 5、E ＝ 3 に決まりました。残る数字は 1 と 2 で、これが A と B です。

手順 4：ABC が 4 の倍数 下 2 けた BC ＝ B4 が 4 の倍数になる B を選びます。残りは 1 と 2。

• B ＝ 1 → 14 は 4 の倍数でない
• B ＝ 2 → 24 は 4 の倍数 ○

だから B ＝ 2、A ＝ 1。5 けたの数は

長方形の中での 角度求めは錯角の利用 を考えましょう。 理由は向かい合う辺が平行だからです。

折り返しているので、上図のようになって

前問は、単に角度求めの問題ではなく、角度に注目すれば良いことがあるよ というメッセージです。 そこで、同じ角度に同じ印をつけていくと、３辺の長さの比が 3：4：5 の直角三角形の相似 が次々と見つかります。 G のまわりの三角形は BG ＝ 3、BH ＝ 4、GH ＝ 5 で、AEG と同じ 3：4：5。これで上の辺は AG ＋ GH ＝ 3 ＋ 5 ＝ 8 まで決まり、AD ＝ 16 から残りの HD ＝ 8 もわかります。

H のまわり、C・F のまわりへと、直角と 1 つの角を手がかりに相似な三角形を次々に見つけ、3：4：5 の比を使って各辺（HC ＝ 10、DC ＝ 6、$\dfrac{10}{3}$、$\dfrac{8}{3}$ など）を 1 本ずつ求めていきます。こうして重なった部分の各辺がそろうと、面積が計算できます。