愛光中2013 大問3｜自転車の速さの比と追いつきを解説

この問題について

愛光中学校 2013 年度（平成 25 年度）の大問 3 は、太郎君と次郎君が自転車で A 地点から B 地点を通って C 地点まで進む、速さの問題です。2 人とも B 地点で速さが変わるので、区間ごとに分けて考える必要があります。

この問題のカギは、距離の比と時間から速さの比を作ることです。距離が実際に何 m かはまだわからなくても、比のままで速さの比を作れます。そこへ「1 分あたり 20m おそくした」という条件を差に対応させると、比が実際の分速に変わります。

同じ愛光中の2013年 大問2（比の文章題）・2010年 大問2（速さの比）・2013年 大問1後半の解説もあわせてご覧ください。

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愛光中（2013）3

太郎君と次郎君はそれぞれ自転車で A 地点を出発し、B 地点を通り C 地点まで行きます。太郎君は 7 時に A 地点を出発し、7 時 24 分に B 地点を通り、B 地点からは速さを 1 分あたり 20m おそくしたので、7 時 49 分に C 地点に到着しました。次郎君は 7 時 10 分に A 地点を出発し、B 地点を通り、B 地点から速さをおそくしたので、7 時 46 分に C 地点に到着しました。A 地点から B 地点までと B 地点から C 地点までの距離の比が 16：15、次郎君の A 地点から B 地点までと B 地点から C 地点までの速さの比が 4：3 のとき、次の問いに答えなさい。

• （1）太郎君の A 地点から B 地点までの自転車の速さは分速何 m ですか。
• （2）次郎君の A 地点から B 地点までの自転車の速さは分速何 m ですか。
• （3）次郎君が太郎君に追いついたのは A 地点から何 m のところですか。

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3 （1）

太郎君の A 地点から B 地点までの自転車の速さは分速何 m ですか。

答え・解説を見る

太郎君について、図に書きこめる時間から確かめます。A 地点を 7 時に出て B 地点を 7 時 24 分に通ったので AB 間は 24 分、B 地点から C 地点へ 7 時 49 分に着いたので BC 間は 25 分です。

距離は AB：BC ＝ 16：15 と与えられています。速さは距離 ÷ 時間なので、この 2 つを区間ごとに割れば、距離が実際に何 m かわからなくても速さの比が作れます。

太郎の速さの比は

$$\begin{aligned} \text{AB：BC} &= \left( 16 \div 24 \right) : \left( 15 \div 25 \right) \\ &= \dfrac{2}{3} : \dfrac{3}{5} \\ &= 10 : 9 \end{aligned}$$

ここまでは比だけの話で、まだ分速は出せません。比を実際の m に変えてくれる条件が 1 つ必要です。それが「B 地点からは速さを 1 分あたり 20m おそくした」です。

AB 間の速さを 10 m/分、BC 間の速さを 9 m/分 とおくと、おそくなった分は 10 − 9 ＝ 1　 m/分 です。これが 20 m/分 にあたります。

1 ＝ 20（m/分）

太郎の AB 間の速さは

20 × 10 ＝ 200（m/分）

（答）分速 200m

KRONE ポイント

比だけでは分速は決まりません。比を実数に変える手がかりが 1 つだけある——ここでは「1 分あたり 20m おそい」がその 1 つです。速さの比 10：9 の差 1 が、そのまま 20m に対応します。速さの問題で「比は作れたけれど数が出ない」と止まったら、実数につながる条件を問題文からさがす番です。

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3 （2）

次郎君の A 地点から B 地点までの自転車の速さは分速何 m ですか。

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次郎君は 7 時 10 分に出て 7 時 46 分に C 地点に着いたので、A から C まで 36 分かかっています。ただし B 地点で速さが変わるので、この 36 分を AB と BC に分けなければ、分速は求まりません。

分けるには、次郎君の AB と BC にかかった時間の比が必要です。時間は距離 ÷ 速さで作れます。距離は AB：BC ＝ 16：15、次郎君の速さは AB：BC ＝ 4：3 と、どちらも与えられています。

次郎の時間の比は

$$\begin{aligned} \text{AB：BC} &= \left( 16 \div 4 \right) : \left( 15 \div 3 \right) \\ &= 4 : 5 \end{aligned}$$

速さの比が 4：3 だから時間の比は 3：4、としてはいけません。逆比が使えるのは距離が同じときだけ で、ここは AB と BC で距離がちがいます。必ず距離 ÷ 速さの形にもどします。

時間の比 4：5 の合計 9 が、36 分にあたります。

9 ＝ 36（分）

1 ＝ 36 ÷ 9

36 ÷ 9 ＝ 4（分）

次郎の AB 間の時間は

4 × 4 ＝ 16（分）

これで、次郎君が B 地点に着いた時刻もわかります。7 時 10 分の 16 分後で 7 時 26 分です。

あとは AB 間の距離がわかれば分速が出ます。AB 間の距離は、(1) で求めた太郎君の速さから求められます。太郎君は AB 間を分速 200m で 24 分走ったので、

AB 間の距離は

200 × 24 ＝ 4800（m）

次郎の AB 間の速さは

4800 ÷ 16 ＝ 300（m/分）

（答）分速 300m

KRONE ポイント

「A から C まで 36 分」だけでは、B でどう区切られたかがわからず手が出ません。合計の時間を比で切り分けるのがこの問いの急所です。切り分けの比は、距離の比と速さの比というすでに持っている 2 つの比から、距離 ÷ 速さで作れます。速さ・時間・距離のうち 2 つの比があれば、残り 1 つの比はいつでも作れる——この関係を持っておくと、条件がバラバラに見える問題でもつなげられます。

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3 （3）

次郎君が太郎君に追いついたのは A 地点から何 m のところですか。

答え・解説を見る

ここまでで、2 人の速さと時刻がすべてそろいました。図に書きこんで整理します。

まず次郎君の BC 間の速さです。速さの比が AB：BC ＝ 4：3 で、AB 間が分速 300m だったので、

$$\begin{aligned} \text{次郎の BC 間の速さ} &= 300 \times \frac{3}{4} \\ &= 225 \ \text{(m/分)} \end{aligned}$$

太郎君の BC 間の速さは、(1) の比 10：9 から、

$$\begin{aligned} \text{太郎の BC 間の速さ} &= 200 \times \frac{9}{10} \\ &= 180 \ \text{(m/分)} \end{aligned}$$

つぎに、どこで追いつきが始まるかを決めます。A 地点では太郎君が 10 分先に出ており、次郎君のほうが速いので差はどんどんちぢまりますが、次郎君が B 地点に着く 7 時 26 分の時点でまだ追いついていません。太郎君は 7 時 24 分に B 地点を通過し、そこから分速 180m で進んでいるからです。

$$\begin{aligned} \text{7 時 26 分に太郎君が B から進んでいる距離} &= 180 \times 2 \\ &= 360 \ \text{(m)} \end{aligned}$$

つまり 7 時 26 分の時点で、次郎君は B 地点、太郎君はその 360m 先にいます。ここから先は 2 人とも BC 間の速さ（次郎 225m/分、太郎 180m/分）で進むので、いつもの追いつきの形になります。 追いつくまでの時間は

360 ÷ (225 − 180) ＝ 8（分）

追いついた場所は、B 地点から次郎君が 8 分進んだところです。A 地点からの距離にするので、AB 間の 4800m を足します。 A 地点からの距離は

$$\begin{aligned} 4800 + 225 \times 8 &= 4800 + 1800 \\ &= 6600 \ \text{(m)} \end{aligned}$$

（答）6600m

KRONE ポイント

追いつきの式（差 ÷ 速さの差）そのものは基本です。この問題がむずかしいのは、その式を使い始めてよい地点と時刻を、自分で決めなければならないところにあります。2 人とも B で速さが変わるので、「B より前」と「B より後」では速さの差がちがいます。両方が BC 間の速さになる 7 時 26 分まで待ってから、そこでの差 360m を出発点にする——速さが変わる問題は、速さが変わらない区間に切ってから公式を使うのが鉄則です。

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この問題から学ぶこと

大問 3 は、(1)(2)(3) が一本の線でつながっています。(1) では距離の比と時間から速さの比を作り、「1 分あたり 20m おそい」という差の条件で比を実数に変えました。(2) ではその実数（分速 200m）から AB 間の距離 4800m を求め、距離の比と速さの比から時間の比を作って、36 分を切り分けました。(3) では、そこまでで求めた 4 つの速さを使って追いつきを処理しました。前の問いの答えが次の問いの材料になる、典型的な積み上げ型です。

土台にあるのは、速さ・時間・距離は、2 つの比がわかれば残り 1 つの比が作れるという 1 つの関係だけです。(1) は距離の比と時間から速さの比を、(2) は距離の比と速さの比から時間の比を作りました。同じ関係を向きを変えて使っているだけで、覚える公式が増えたわけではありません。

つまずきやすいのは 2 か所です。1 つは (2) で「速さの比が 4：3 だから時間の比は 3：4」としてしまうこと。逆比が成り立つのは距離が同じときだけで、ここは AB と BC の距離がちがいます。もう 1 つは (3) で、A 地点からの 10 分の差をそのまま追いつきの式に入れてしまうこと。2 人とも B 地点で速さが変わるので、速さが一定の区間に入ってから式を立てる必要があります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、速さの問題を「追いつきの公式」「出会いの公式」と型で覚えさせるのではなく、図に書きこめる数を 1 つずつ増やしていくやり方で指導します。この問題なら、まず太郎君の 24 分・25 分を書き、距離の比 16：15 を書き、そこから速さの比が作れると気づく。書きこめる数が増えるたびに、次に何が求まるかが見えてきます。

考える力を育てる指導のポイント: 速さの問題で手が止まったら「いま図に書きこめる数は何？」と問いかけます。公式を思い出そうとするのではなく、持っている数を並べ直すと、速さ・時間・距離のどの 2 つがそろっているかが見え、残りの 1 つが自然に求まります。

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速さの比の問題の解き方（まとめ）

• 距離の比と時間がわかれば、区間ごとに 距離 ÷ 時間 で速さの比が作れる
• 比を実際の m にするには、実数につながる条件（「1 分あたり 20m おそい」など）を差に対応させる
• 距離の比と速さの比がわかれば、距離 ÷ 速さ で時間の比が作れる
• 逆比が使えるのは距離が同じときだけ。距離がちがうなら必ず距離 ÷ 速さの形にもどす
• 途中で速さが変わる問題は、速さが一定の区間に切ってから追いつきの式を使う

同じ愛光中の2013年 大問2（比の文章題）・2010年 大問2（速さの比）・2013年 大問1後半の解説もあわせてご覧ください。

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