大手前高松中2015 大問4｜多角形の角・斜線部分の面積を1問ずつ解説

この問題について

大手前高松中 2015 年度の大問 4 は，図形の問題です。多角形の角の大きさと，斜線部分（色のついた部分）の面積を求めます。どちらも「公式を覚えているか」だけでなく，図形をどう分けて考えるかが問われます。この記事では次のことを解説します。

• 多角形の内角の和を使って角の大きさを求める方法
• 斜線部分の面積を「全体−いらない部分」で求める考え方と，四角形を対角線で分ける別解
• おうぎ形の面積の公式と，大きいおうぎ形から小さいおうぎ形を引く解き方（相似を使った別解も）

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4 （1）

次の図形の ① の角の大きさを求めなさい。

難易度: ★☆☆☆☆　 分野: 図形（多角形の角） 目安時間: 2分

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五角形の内角の和を使います。多角形は，1 つの頂点から対角線を引くと三角形に分けられます。五角形は 3 つの三角形 に分けられるので，内角の和は，

$$180 \times 3 = 540 \text{ (度)}$$

なぜ三角形の枚数から求められるか確認しておきましょう。

$$\text{ アイウ}+\text{ エオカ}+\text{ キクケ}=\text{ アエキ}+\text{ イ}+\text{ ウオ}+\text{ カク}+\text{ ケ}$$

わかっている 4 つの角の和は，

$$120 + 95 + 115 + 100 = 430 \text{ (度)}$$

残りの角①は，540 度から引いて，

$$540 - 430 = 110 \text{ (度)}$$

（答）110 度

KRONE ポイント

多角形の内角の和は「180×（三角形の数）」で求められます。五角形は 3 つ，六角形は 4 つ……と，頂点の数より 2 つ少ない数 の三角形に分けられます。

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4 （2）①

次の図で斜線部分の面積を求めなさい。円周率は 3.14 とする。

難易度: ★☆☆☆☆　 分野: 図形（面積） 目安時間: 2分

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斜線部分は，長方形の中の四角形です。こういう形は，全体（長方形）から，斜線になっていない部分を引く と求められます。

横 10cm，縦 8cm の長方形の面積は，

$$10 \times 8 = 80 \text{ (cm}^2)$$

斜線になっていないのは，左下と右下の 2 つの三角形です。

• 左下の三角形：底辺 3cm，高さ 8cm

$$3 \times 8 \div 2 = 12 \text{ (cm}^2)$$

• 右下の三角形：底辺 7cm（$10-3$），高さ 5cm

$$7 \times 5 \div 2 = 17.5 \text{ (cm}^2)$$

斜線部分は，長方形から 2 つの三角形を引いて，

$$80 - (12 + 17.5) = 50.5 \text{ (cm}^2)$$

（答）50.5 cm²

面積を求める図形は四角形なので 対角線で三角形に分ける というアイデアを覚えてください。 これはかなり強力な武器になるので、こちらの解き方がおすすめです。

$$\begin{aligned} 10 \times 8 \div 2 + 3 \times 7 \div 2 = 50.5 \text{ (cm}^2) \end{aligned}$$

（答）50.5 cm²

KRONE ポイント

斜線部分が複雑な形のときは，まず「囲んでいる大きな図形」を見つけ，そこから「いらない部分」を引きます。引き算で考えると，直接は求めにくい形でも面積が出せます。

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4 （2）②

次の図で斜線部分の面積を求めなさい。円周率は 3.14 とする。

難易度: ★☆☆☆☆　 分野: 図形（おうぎ形の面積） 目安時間: 3分

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斜線部分は，大きいおうぎ形から小さいおうぎ形を取りのぞいた形です。大きいおうぎ形から小さいおうぎ形を引いて 求めます。このとき，×3.14 は最後にまとめて計算する のがコツです。とちゅうで 3.14 をかけないでおくと，数が小さいまま計算でき，まちがいが減ります。

中心角はどちらも 135 度。半径は，

$$\begin{array}{ll} \text{ 大きいおうぎ形} & : 4 + 4 = 8 \text{ (cm)} \\[.3em] \text{ 小さいおうぎ形} & : 4 \text{ (cm)} \end{array}$$

おうぎ形の面積は「半径 × 半径 × 円周率 ×（中心角 ÷ 360）」です。

大きいおうぎ形は，

$$8 \times 8 \times 3.14 \times \frac{135}{360} = 24 \times 3.14$$

小さいおうぎ形は，

$$4 \times 4 \times 3.14 \times \frac{135}{360} = 6 \times 3.14$$

斜線部分は，大きいおうぎ形から小さいおうぎ形を引いて，

$$\begin{aligned} 24 \times 3.14 - 6 \times 3.14 &= 18 \times 3.14 \\ &= 56.52 \text{ (cm}^2) \end{aligned}$$

（答）56.52 cm²

算数が得意な人は相似な図形の面積を使うのがおすすめです。

大きいおうぎ形と小さい扇形の相似比は 2：1 なので、面積は 4：1 です。 ですから、面積を求めるバームクーヘンの部分は、小さい扇形の 3 倍です。

$$4 \times 4 \times 3.14\times \frac{3}{8} \times 3 = 56.52 \text{ (cm}^2)$$

（答）56.52 cm²

KRONE ポイント

中心角が同じおうぎ形どうしの引き算では，$\dfrac{135}{360}$ を先に約分して $\dfrac{3}{8}$ にしておくと計算が楽になります。$(8\times8-4\times4)\times3.14\times\dfrac{3}{8}$ とまとめて計算してもよいでしょう。

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例題で確かめよう

考え方が身についたか，似た問題で確かめてみましょう。

（例題1）六角形の内角の和は何度ですか。

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六角形は，1 つの頂点から対角線を引くと 4 つの三角形 に分けられます。

$$180 \times 4 = 720 \text{ (度)}$$

（答）720 度

（例題2）半径 6cm，中心角 90 度のおうぎ形の面積を求めなさい。円周率は 3.14 とする。

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中心角 90 度は $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$，つまり円の 4 分の 1 です。

$$6 \times 6 \times 3.14 \times \frac{1}{4} = 28.26 \text{ (cm}^2)$$

（答）28.26 cm²

（例題3）一辺 10cm の正方形の中に、1 つの頂点を底辺の真ん中に結んだ三角形があります。この三角形の面積を求めなさい。

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底辺は正方形の一辺 10cm，高さも正方形の一辺 10cm です。

$$10 \times 10 \div 2 = 50 \text{ (cm}^2)$$

正方形の半分になります。

（答）50 cm²

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この問題から学ぶこと

大問 4 の図形問題に共通するのは，知っている形に分けて考える という発想です。

(1) は，五角形をそのまま見るのではなく「三角形 3 つ分」ととらえれば内角の和が出せます。(2) は，斜線部分という複雑な形を，長方形やおうぎ形といった「面積を求められる形の足し算・引き算」に置きかえています。

図形が難しく見えるときほど，「全体は何か」「いらない部分はどこか」「知っている形に分けられないか」を考えるのが解決の糸口です。公式を覚えるだけでなく，図形を分解して見る目を養いましょう。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，図形問題を「公式に数を当てはめる」だけで終わらせません。なぜその式になるのかを，図をかきながら説明できる ことを大切にしています。

斜線部分の面積であれば，「どの形からどの形を引いたのか」を図に色分けして確かめます。手を動かして図を分解する経験を重ねることで，初めて見る図形でも「分けて考える」発想が自然に出てくるようになります。反復練習には，登録不要・無料で使えるクローネらぼもご活用ください。

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