大手前高松中2015（前期）大問6｜水そうとしきり板の水量グラフを解説

水そうにしきり板を入れて水を注ぐ「水問題」は、まじめに体積を求めようとすると数字がどんどん大きくなり、計算が大変になります。この問題でも、正面から見た図で整理して比を使えば、大きな数を一度も計算せずに答えが出ます。この記事では、その解き方を順を追って解説します。

• 水問題は体積で押すと数字が大きくなって大変だと知る
• 正面から見た図に水のたまり方を描いて整理する
• 同じ奥行きの部分どうしを比でくらべて、長さや時間を求める

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水問題は体積で押さず、正面図と比で解く

水問題でいきなり体積を求めにいくと、$8000~\text{cm}^3$、$32000~\text{cm}^3$ と数字が大きくなって計算が大変になります。そこで、次の2つの見方に切りかえます。

正面から見た図で整理する。水そうを正面から見ると、奥行きが消えてたての長方形になります。一定の割合で水を注いでいるので、注いだ水の量は時間に比例します。奥行きはどの部屋も同じなので、

$$(\text{正面から見た水の面積}) \;\propto\; (\text{時間})$$

と考えられます。正面図の面積が、そのまま時間に置きかわるわけです。

奥行きが同じ部分どうしを比でくらべる。奥行きが共通なら、体積の比は正面図の面積の比と同じです。さらに、

• 横の長さが同じ2つの部分　→　高さの比＝時間の比
• 高さが同じ2つの部分　　　→　横の長さの比＝時間の比

このどちらかに持ちこめば、大きな数を計算せずに比だけで答えが出ます。グラフを正面図に翻訳し、同じ奥行きどうしを比でくらべる——これが水問題の軸です。

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問題（大手前高松中 2015年度（前期）大問 6）

図1は中に2枚のしきり板を入れた水そうです。この水そうの①の部分に毎分8Lの割合で水を注いだとき、時間と水面のもっとも高い部分の高さとの関係は図2のグラフのようになりました。水そうとしきり板の厚さは考えないものとします。

• （1）2枚のしきり板の高さはそれぞれ何cmと何cmですか。
• （2）図1のアの長さを求めなさい。
• （3）図2のイとウにあてはまる数を入れなさい。

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 水量変化のグラフ・体積 目安時間: 6分

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解法の3つのポイント

この問題は、次の3つを意識すると大きな数を計算せずに解けます。

1. 体積で押さない。$8000$ や $32000$ を計算しはじめると数字が大きくなって大変。なるべく体積を求めにいかない
2. 正面から見た図で整理する。グラフの上昇・水平を、正面図の「どこに水がたまったか」に描き直す
3. 比を上手に使う。奥行きは全部同じなので、横が同じなら高さの比、高さが同じなら横の比が、そのまま時間の比になる

グラフが水平になるのは、低いしきり板を越えて水が隣の部屋へ流れこんでいる間です。折れ曲がるのは、部屋がつながって正面図の横はばが変わった瞬間。この対応を正面図に描きこめば、あとは比で崩せます。

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6(1) しきり板の高さ

2枚のしきり板の高さはそれぞれ何cmと何cmですか。

グラフが水平になった高さが、そのとき越えた板の高さです。まずは自分で考えてみましょう。できたら下の「答え・解説を見る」を開いてください。

答え・解説を見る

低いほうの板は、グラフの水平の高さをそのまま読む

①の部屋に水を注ぐと、水面はまず高さ 16cm まで上がってから水平になります（グラフの最初の水平部分）。これは①の水が低いしきり板を越えて、隣の部屋へ流れ出した高さです。計算はいりません。グラフの水平の高さがそのまま板の高さで、低いほうの板は 16cm です。

高いほうの板は、正面図を上下に分けて比でくらべる

正面図に水のたまり方を描くと、上の図のように整理できます。黄色（高いほうの板の高さまで）は9分、青色（そこから満水40cmまで）は6分かかります。

黄色と青色は、どちらも水そう全体の横はばを使う部分で、横の長さと奥行きが同じです。横が同じなら、高さの比がそのまま時間の比になります。

$$(\text{黄色の高さ}) : (\text{青色の高さ}) = 9 : 6 = 3 : 2$$

満水の高さは40cmなので、これを $3 : 2$ に分けた下側が高いほうの板です。

$$40 \times \frac{3}{5} = 24 \text{（㎝）}$$

（答）　16 cm と 24 cm

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6(2) アの長さ

図1のアの長さを求めなさい。

正面図に、グラフの時間を面積として書きこんで比でくらべます。

答え・解説を見る

正面図で考えます。注いだ量は時間に比例し、奥行きはどこも同じなので、正面図の面積が時間に置きかわります。

うまく使える区間を2つえらびます。

• 左ブロック（①と真ん中をあわせた部分）が、高さ16cmまでたまるまで… 0分〜4分の 4分
• 満水までの最後（9分〜15分）に、水そう全体（横60cm）にたまる部分… 6分

最後の6分でたまる部分は、高いほうの板24cmから満水40cmまで、つまり高さ $40 - 24 = 16$ cm ぶんです。左ブロックも高さ16cm。2つは高さがどちらも16cmで同じです。

高さが同じなら、横の長さの比＝時間の比。左ブロックの横はばを□とすると、

$$\square : 60 = 4 : 6 = 2 : 3$$

ですから $\square = 60 \times \dfrac{2}{3} = 40$ cm。これが左ブロック（①＋真ん中）の横はばです。水そう全体の横はばは60cmなので、残りがアです。

$$\text{ア} = 60 - 40 = 20 \text{（cm）}$$

（答）　ア ＝ 20 cm

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6(3) イとウにあてはまる数

図2のイとウにあてはまる数を入れなさい。

ここでも正面図のなかで、同じ高さ・同じ横はばの部分どうしを比でくらべます。(2)で、左ブロック（①＋真ん中）は横40cm・4分とわかっています。①の部屋の横はばは30cm、真ん中の部屋は $40 - 30 = 10$ cmです。

答え・解説を見る

イ（①の部屋が16cmまでたまる時刻）

イは、①の部屋だけに水がたまって高さ16cmになる時刻です。①の部屋（横30cm）と左ブロック（横40cm）は、どちらも高さ16cmで同じ。高さが同じなら、横の長さの比＝時間の比です。

$$(\text{イ}) : 4 = 30 : 40 = 3 : 4$$

左ブロックが4分なので、$\text{イ} = 4 \times \dfrac{3}{4} = 3$ 分。

ウ（左ブロックが24cmまで上がりきる時刻）

4分のあと、①と真ん中がつながった左ブロック（横40cm）の水面が、16cmから高いほうの板24cmまで上がります。その高さは $24 - 16 = 8$ cm ぶんです。

これを、0分〜4分で同じ左ブロックが高さ16cmたまった部分とくらべます。横はばが同じ40cmなので、高さの比＝時間の比です。

$$(\text{ウ}-4) : 4 = 8 : 16 = 1 : 2$$

ですから $\text{ウ} - 4 = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2$ 分。よって $\text{ウ} = 4 + 2 = 6$ 分。

（答）　イ ＝ 3　／　ウ ＝ 6

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この問題から学ぶこと

この問題の核心は、体積で押さないことです。まじめに $8000$ や $32000$ を計算しはじめると数字がふくらんで大変ですが、正面から見た図に水のたまり方を描き、同じ奥行きどうしを比でくらべれば、大きな数を一度も計算せずに答えが出ます。

カギになるのが、正面図のなかで「高さが同じ」「横が同じ」部分を見つけることです。高さが同じなら横の比、横が同じなら高さの比が、そのまま時間の比になります。今回も、左ブロックと満水部分が「同じ高さ16cm」だと気づけたことで、ア・イ・ウがすべて比だけで求まりました。水問題は、図で整理してうまい比を見つけるゲームだと考えると、見通しがよくなります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、水問題を「いきなり体積を計算する」のではなく、まず正面から見た図を描くところから指導します。グラフの上昇・水平を正面図のどこに描くかを自分で決められるようになると、大きな数を計算せずに済むことが体感できます。

そのうえで、「どこの高さが同じか」「どこの横が同じか」を探させ、うまい比を見つける練習をします。答えの数値より「なぜこの2つを比べられるのか」を説明できることを重視します。図で整理して比を見つける武器があれば、初めて見る問題でも自分で崩していけます。反復練習には、登録不要・無料で使えるクローネらぼもご活用ください。

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