大手前高松中2015（前期）大問2｜角度・面積・平均の小問集合

この問題について

大手前高松中2015年度（前期）の算数大問2は，角度・面積・平均の3つをあつかう小問集合です。分野はバラバラですが，それぞれに「こう来たらこう解く」という定石があります。角度なら二等辺三角形をさがす，面積（まわりの長さ）なら和を先に出す，平均なら合計にもどす——この定石を知っているかどうかで，解くスピードと正確さが決まります。

小問集合は1問あたりの配点が大きく，差がつきやすい場所です。1問ずつ，その分野の定石を確認しながら見ていきましょう。

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大手前高松中（2015・前期）大問 2

次の各問いに答えなさい。

• （1）四角形ABCDがあり，三角形ABCは直角二等辺三角形です。また，三角形BCDは正三角形です。このとき，角(ア)の大きさは何度ですか。
• （2）80cmの針金で，たてと横の比が3：5の長さになるような長方形を作ると，面積は何cm²になりますか。
• （3）あるクラスで，算数のテストをした結果，男子30人の平均点は70点で，女子20人の平均点は60点でした。このクラス全員の平均点は何点ですか。

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 小問集合（角度・面積・平均） 目安時間: 8分

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2 (1) 角(ア)

四角形ABCDがあり，三角形ABCは直角二等辺三角形です。また，三角形BCDは正三角形です。このとき，角(ア)の大きさは何度ですか。

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この図のかなめは，辺BCが2つの三角形に共通していることです。ここから，等しい長さの辺をたどっていきます。

三角形BCDは正三角形なので，3辺はすべて等しく，

$$\text{BC} = \text{CD} = \text{DB}$$

三角形ABCは直角二等辺三角形（直角をはさむ2辺が等しい）なので，

$$\text{AB} = \text{BC}$$

この2つを合わせると，$\text{AB} = \text{BC} = \text{BD}$ がわかります。つまり，$AB$ と $BD$ は同じ長さです。

次に，角を書き込みます。正三角形なので角 $\text{DBC} = 60^\circ$，直角二等辺三角形なので角 $\text{ABC} = 90^\circ$。よって，

$$\text{角ABD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

ここで先ほどの $\text{AB} = \text{BD}$ が効きます。三角形ABDは $\text{AB} = \text{BD}$ の二等辺三角形なので，底角どうしが等しく，

$$\text{角BAD} = \text{角BDA} = (180^\circ - 30^\circ) \div 2 = 75^\circ$$

最後に，三角形ABCが直角二等辺三角形であることから $\text{角BAC} = 45^\circ$。角(ア)は $\text{角BAD}$ から $\text{角BAC}$ を引いた残りなので，

$$75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$$

KRONE ポイント

一辺の長さが同じ正多角形がくっついている問題では，二等辺三角形をさがすのが定石です。正三角形・二等辺三角形・正方形など，等しい辺がどこにあるかを図に印をつけて整理しましょう。

（答）30度

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2 (2) 針金で作る長方形の面積

80cmの針金で，たてと横の比が3：5の長さになるような長方形を作ると，面積は何cm²になりますか。

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針金の長さ80cmは，長方形のまわりの長さになります。まわりの長さは「（たて＋横）×2」なので，

$$(\text{たて} + \text{横}) \times 2 = 80$$$$\text{たて} + \text{横} = 80 \div 2 = 40 ~ (\text{cm})$$

ここまでで，たてと横の和が40cmとわかりました。あとは，これをたて：横＝3：5に分けるだけです。比の合計は $3 + 5 = 8$ なので，比の1つ分は

$$40 \div 8 = 5 ~ (\text{cm})$$

したがって，

$$\text{たて} = 3 \times 5 = 15 ~ (\text{cm}), \qquad \text{横} = 5 \times 5 = 25 ~ (\text{cm})$$

面積は，

$$15 \times 25 = 375 ~ (\text{cm}^2)$$

KRONE ポイント

まわりの長さが先にわかっているときは，「たて＋横」の和を求めるのが定石です。まわりの長さ80cmを2で割ると，たてと横の「和」が出ます。和さえ出れば，あとは比で分けるだけ。いきなり面積に向かわず，まず和（または差）を出す——これが比と長さの問題の定石です。

（答）375cm²

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2 (3) クラス全員の平均点

あるクラスで，算数のテストをした結果，男子30人の平均点は70点で，女子20人の平均点は60点でした。このクラス全員の平均点は何点ですか。

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平均は，いつでも

$$\text{平均} = \text{合計} \div \text{個数}$$

に戻すのが定石です。全員の平均を出すには，全員の合計点と全員の人数が必要です。

まず，男子と女子それぞれの合計点を，「平均×人数」で出します。

$$\text{男子の合計} = 70 \times 30 = 2100 ~ (\text{点})$$$$\text{女子の合計} = 60 \times 20 = 1200 ~ (\text{点})$$

クラス全員の合計点と人数は，

$$\text{合計} = 2100 + 1200 = 3300 ~ (\text{点}), \qquad \text{人数} = 30 + 20 = 50 ~ (\text{人})$$

したがって，全員の平均点は，

$$3300 \div 50 = 66 ~ (\text{点})$$

$(70+60)\div 2 = 65$ 点ではなく66点になりました。男子のほうが人数が多い（30人＞20人）ので，平均は男子の70点のほうに少し引っぱられ，まん中の65点より高くなるのです。

KRONE ポイント

平均どうしを単純に足して2で割れるのは，人数が同じときだけです。人数がちがうときは，必ず「合計 ÷ 個数」に戻ります。一度それぞれの合計点にもどしてから足し，全員の人数で割る——これが平均の定石です。「平均×個数＝合計」の式を，行き来できるようにしておきましょう。

（答）66点

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この問題から学ぶこと

大問2の角度・面積・平均は，それぞれに「こう来たらこう解く」という定石がありました。

• (1)角度は，二等辺三角形をさがす。等しい辺が見つかれば「二等辺三角形 → 底角が等しい」が使える。
• (2)面積（まわりの長さ）は，たてと横の和を先に出す。和さえ出れば，あとは比で分けるだけ。
• (3)平均は，それぞれの合計点にもどす。平均は「合計÷個数」に必ず帰着する。

小問集合は，1問ごとに分野が変わるので「公式の暗記合戦」になりがちです。けれど実際に解いてみると，分野ごとに決まった定石があり，それを知っていれば手が止まりません。一つひとつの定石を「なぜそうするのか」まで理解して身につければ，初めて見る問題でも同じ手が使えるようになります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，小問集合を「たくさんの公式を丸暗記して当てはめる」のではなく，分野ごとの定石を「なぜそうするのか」まで理解することを指導します。角度なら二等辺三角形をさがす，比と長さなら先に和や差を出す，平均なら合計にもどす——理由ごと身につけた定石は，数字や形が変わっても使えます。

小問集合を得点源にする指導のポイント: 小問集合は1問の配点が大きく，落とすと差が開きます。だからこそ，分野ごとの定石を確実に手にしておくことが効きます。角度は等しい辺に印をつける，比は『先に和や差を出す』，平均は『合計にもどす』——一つひとつの定石を，自分の手で再現できるところまで練習します。反復には，登録不要・無料で使えるクローネらぼもご活用ください。

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小問集合の解き方（まとめ）

大手前高松中2015年度（前期）の大問2は，角度・面積・平均の小問集合でした。分野ごとの定石を整理します。

• 角度は，等しい長さの辺をさがして二等辺三角形を見つける。二等辺三角形 → 底角が等しい（(1)＝30度）
• 面積（まわりの長さ）は，たてと横の和を先に出して比で分ける（(2)＝375cm²）
• 平均は，それぞれの合計点にもどしてから足し，全員の人数で割る。平均は「合計÷個数」（(3)＝66点）
• 人数がちがう平均を，単純に足して2で割ってはいけない

小問集合は分野がバラバラでも，分野ごとに決まった定石があります。定石を「なぜそうするのか」まで理解して身につければ，初めて見る問題でも同じ手で解ける。これが受験算数の小問集合で差をつける型です。

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他の大問の解説

大手前高松中2015年度（前期）の算数は，全部で大問6つの構成です。出題分野の一覧と各大問へのリンクは，まとめページにあります。

• 大手前高松中2015 算数（前期）｜大問1〜6 全問解説まとめ
• 前の大問：大問1｜計算・約数・面積・速さの基本10問
• 次の大問：大問3｜円と正方形の斜線部分の面積

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