大手前高松中2015（前期）大問3｜円と正方形の斜線部分の面積
大手前高松中2015年度（前期）の算数大問3を解説。正方形の中の2つの半円、円の中の風車もようという複雑な斜線部分の面積を、『求める部分が離れているときは動かして1か所に集める』等積移動の定石で解きます。円周率3.14。高松市の学習塾クローネ学園が中学受験の基礎を支えます。
この問題について
大手前高松中2015年度（前期）の算数大問3は，斜線部分の面積を求める問題です。(1)は正方形の中の2つの半円，(2)は円の中の風車もよう。どちらも一見ふくざつで，「どこをどう足し引きすればいいの？」と手が止まりがちです。
でも，こういう問題には決まった定石があります。それは，求める部分が離れてちらばっているときは，動かして1か所に集めること。これを等積移動といいます。半円や四分円を移して向きをそろえると，ばらばらだった部分が円や半円にまとまり，「公式で一発」「全体から引くだけ」の形に変わります。この定石を，2問で身につけましょう。円周率は3.14とします。
大手前高松中（2015・前期）大問 3
下の図形の斜線部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。
難易度: ★☆☆☆☆ 分野: 円の面積・等積移動 目安時間: 5分
3 (1) 正方形の中の2つの半円
次の図の斜線部分の面積を求めなさい。
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斜線部分は，正方形から白い2つの半円をのぞいた残りです。この2つの半円は，どちらも直径が正方形の1辺（10cm）と同じ，半径5cmの半円です。
ここで等積移動の出番です。左の半円と右の半円を，左右にずらして向きをそろえると，ちょうど直径10cm（半径5cm）の円1つになります。
つまり，白い部分は合わせて半径5cmの円1つ分です。斜線部分は，正方形からこの円をのぞいた残りなので，
KRONE ポイント
離れた半円が2つあったら，動かして1つの円に集められないかを考えるのが定石です。半円2つ＝円1つと見えれば，あとは「正方形−円」の引き算だけ。バラバラの斜線をそのまま計算しようとせず，まず1か所に集めてから式を立てましょう。
（答）21.5cm²
3 (2) 円の中の風車もよう
次の図の斜線部分の面積を求めなさい。
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まず大きさを確かめます。図の3cmは小さい半円の半径です。小さい半円の直径は cmで，これが大きい円の半径と同じになっています。つまり大きい円の半径は6cmです。
斜線部分は風車のように4つに分かれていて，このままでは計算しづらい形です。そこで等積移動の出番です。白い半円を移して向きをそろえると，散らばっていた白い部分が半径3cmの小円2つにまとまります。
半円4枚を集めると小円が2枚できます。あとは，大きい円全体から，この白い小円2つ（いらない部分）を引くだけです。
KRONE ポイント
求める部分が離れてちらばっているときは，等積移動で1か所に集めるのが定石です。風車の斜線は4つに分かれていますが，半円を移して向きをそろえると，白い部分が「半径3cmの小円2つ」にまとまります。あとは「大きい円−小円2つ」を引くだけ。ばらばらのまま1つずつ計算しようとせず，まず動かして集めてから式を立てましょう。
（答）56.52cm²
この問題から学ぶこと
大問3の2問は，どちらも「求める部分が離れているときは，動かして1か所に集める」という同じ定石で解けました。これを等積移動といいます。
- (1)は，白い2つの半円を左右に動かして1つの円にまとめた。斜線部分は「正方形−円」。
- (2)は，散らばった白い半円を移して小円2つに集めた。斜線部分は「大きい円−小円2つ」。
斜線部分の面積というと，「いくつもの図形の面積を足したり引いたりする計算」だと思いがちです。けれど，斜線がいくつにも分かれてちらばっている図形ほど，先に動かして1か所に集めることで，計算そのものが一気にラクになります。手を動かして式を立てる前に，まず「この半円，どこかへ移して集められないか」「この半円とあの半円，合わせたら円にならないか」と図をながめる——これが等積移動を使いこなすコツです。
クローネ学園での指導
クローネ学園では，斜線部分の面積を「公式を当てはめて足し引きする」のではなく，まず動かして1か所に集められないかを考えるところから指導します。等積移動が見えると，ばらばらに散らばった図形が円や半円といった「公式一発」の形に集まり，「全体から引くだけ」になって計算ミスもぐっと減ります。
図形問題を得点源にする指導のポイント: 斜線部分の面積は，「ばらばらのまま足し引き」と「集めてから引く」のどちらで解くかで，速さも正確さも大きく変わります。離れた半円を移して円にまとめられないか，散らばった部分を1か所に集められないか —— 等積移動はヒラメキはなく「どこを動かせばいいか」ポイントがあります。つまずいたら早めに先生と一緒に確かめましょう。
斜線部分の面積の解き方（まとめ）
大手前高松中2015年度（前期）の大問3は，円と正方形の斜線部分の面積でした。定石を整理します。
- 共通する定石は「求める部分が離れているときは，動かして1か所に集める」（等積移動）
- (1) 2つの半円を左右に動かすと半径5cmの円1つ。斜線＝正方形−円＝cm²
- (2) 散らばった半円を集めると半径3cmの小円2つ。斜線＝大きい円−小円2つ＝cm²
- 「半円2つ＝円1つ」「半円4枚＝小円2つ」と，移して集める形を見抜くのがコツ
斜線部分の面積は，ばらばらのまま足し引きすると計算が重くなります。先に図を動かして1か所に集めてから式を立てる。この等積移動の定石が，図形問題で差をつけます。
他の大問の解説
大手前高松中2015年度（前期）の算数は，全部で大問6つの構成です。出題分野の一覧と各大問へのリンクは，まとめページにあります。
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本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
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大問ごとの解説
FAQ
よくある質問
複雑な斜線部分の面積は、どう求めればよいですか？
そのまま足し算・引き算で求めようとせず、求める部分が離れてちらばっているときは、まず『動かして1か所に集められないか』を考えるのが定石です。これを等積移動といいます。半円や四分円を移して向きをそろえると、ばらばらだった部分が円や半円にまとまり、『全体から引くだけ』の形に変わります。この問題も、(1)は2つの半円を動かすと円1つ、(2)は散らばった半円を集めると小円2つにまとまり、複雑な計算をせずに答えが出ます。
(1)の正方形の中の斜線部分はどう求めますか？
左半分と右半分にある2つの半円を、左右にずらして向きをそろえると、ちょうど直径10cm（半径5cm）の円1つになります。斜線部分は『正方形−円1つ』なので、10×10−5×5×3.14＝100−78.5＝21.5平方センチメートルです。半円2つを1つの円にまとめるのがポイントです。
(2)の円の中の風車もようの斜線部分はどう求めますか？
斜線が4つに分かれて散らばっているので、白い半円を移して向きをそろえ、1か所に集めます。すると白い部分が半径3cmの小円2つにまとまるので、斜線部分は『大きい円−小円2つ』で求められます。大きい円の半径は6cm（小さい半円の半径3cmの2倍）なので、6×6×3.14−3×3×3.14×2＝113.04−56.52＝56.52平方センチメートルです。離れた部分を等積移動で集めてから引く、と見抜くのが定石です。
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