大手前高松中2015（前期）大問4｜過不足算（差で人数を求める）
大手前高松中2015年度（前期）の算数大問4を解説。えんぴつを15本ずつ配ると13本足りない、12本ずつ配ると8本あまる、という過不足算で、子どもの人数とえんぴつの本数を求めます。1人あたりの差をそろえて『差の合計÷1人分の差』で人数を出す考え方を、図で丁寧に解説します。高松市の学習塾クローネ学園が中学受験の基礎を支えます。
この問題について
大手前高松中2015年度（前期）の算数大問4は，過不足算の問題です。同じ数ずつ配るとき，「15本ずつだと13本足りない」「12本ずつだと8本あまる」という2つの配り方をくらべて，子どもの人数とえんぴつの本数を求めます。
過不足算は，配る数を変えたときに必要な数がどれだけ変わるかに注目するのがコツです。図で差を整理しながら，確実に解く方法を見ていきましょう。
大手前高松中（2015・前期）大問 4
子ども達にえんぴつを同じ本数ずつ配ろうと思います。15本ずつ配ろうとすると13本足りません。12本ずつ配ろうとすると8本あまります。次の各問いに答えなさい。
- （1）子どもの人数は何人ですか。
- （2）えんぴつの本数は何本ですか。
難易度: ★★☆☆☆ 分野: 過不足算（差集め算） 目安時間: 6分
4
- （1）子どもの人数は何人ですか。
- （2）えんぴつの本数は何本ですか。
(1)では2つの配り方を1人ずつ縦にそろえてくらべ，(2)では出た人数をどちらかの配り方にあてはめます。1人に配る本数のちがいに注目できたら，自分で考えてみてください。
答え・解説を見る
（1）子どもの人数
子ども1人ずつに，2つの配り方を上下にならべて書いてみます。
| 1人ずつ | 1人目 | 2人目 | … | 最後 | 全体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 15本ずつ | 15 | 15 | … | 15 | 13本不足 |
| 12本ずつ | 12 | 12 | … | 12 | 8本あまり |
| 差 | 3 | 3 | … | 3 | 13＋8＝21本 |
まず，1人あたりの差は
つぎに，全体の差（全体で必要な本数のちがい）を考えます。15本ずつだと13本足りない（あと13本いる），12本ずつだと8本あまる（8本いらない）ので，全体の差は
この 21 本のちがいは，1人あたり 3 本のちがいが人数ぶん積み重なって生まれたものです。ですから，人数は
KRONE ポイント
「不足」と「あまり」は向きが反対なので たす（13＋8＝21）。両方とも不足，または両方ともあまりのときは 引く のがちがいです。「差の合計 ÷ 1人あたりの差 ＝ 人数」が過不足算の中心の式です。
（答）7人
（2）えんぴつの本数
人数が7人とわかったので，どちらかの配り方にあてはめれば本数が出ます。「12本ずつ配ると8本あまる」を使うと，7人に12本ずつ配って，さらに8本あまるので，
念のため，もう一方の「15本ずつ配ると13本足りない」でも確かめます。7人に15本ずつ配るには 本必要で，それより13本足りないので，
どちらで計算しても 92 本になり，答えが正しいと確かめられます。
KRONE ポイント
本数を求めたら，もう一方の配り方でも計算して同じになるか確かめましょう。過不足算は2つの式が立てられるので，検算がしやすい問題です。
（答）92本
この問題から学ぶこと
過不足算の核心は，「配る数を変えると，必要な数がどれだけ変わるか」に注目することです。一見ややこしく見えても，1人ずつ縦にそろえて書けば，1人あたりのちがい（3本）と，全体のちがい（21本）の関係が見えてきます。
そして差がつくのが，「不足」と「あまり」のあつかいです。向きが反対のときはたす，同じ向きのときは引く——ここを図でイメージできれば，符号のミスがなくなります。人数さえ出れば，本数はどちらかの配り方にあてはめるだけ。しかも，もう一方でも検算できるので，確実に得点できる問題です。
なお，この過不足算は，中学で学ぶ方程式に直接つながります。人数を□として「15×□−13」と「12×□＋8」が等しい，と立式すれば同じ答えが出ます。小学生のうちに「差をそろえて人数を出す」考え方を身につけておくと，上の学年でもつまずきません。
クローネ学園での指導
クローネ学園では，過不足算を「公式に当てはめる」のではなく，2つの配り方を1人ずつ縦にそろえて図にかくところから指導します。「1人あたりどれだけちがうか」「全体でどれだけちがうか」を自分で書き出せるようになると，たすのか引くのかも迷わなくなります。
過不足算を得点源にする指導のポイント: 過不足算は，図にかいて「差の合計 ÷ 1人あたりの差 ＝ 人数」の形に持ち込めば安定して解けます。「不足とあまりはたす」「同じ向きは引く」を，言葉で説明できるところまで練習し，初めて見る問題でも自力で立式できる力に仕上げます。反復練習には，登録不要・無料で使えるクローネらぼもご活用ください。
過不足算の解き方（まとめ）
大手前高松中2015年度（前期）の大問4は，過不足算の問題でした。解き方のポイントを整理します。
- 2つの配り方を 1人ずつ縦にそろえて 図にかく
- 1人あたりの差 を出す（15−12＝3本）
- 全体の差 を出す。不足とあまりは向きが反対なので たす（13＋8＝21本）
- 差の合計 ÷ 1人あたりの差 ＝ 人数（21÷3＝7人）。本数はどちらかの配り方にあてはめる（(2)＝92本）
- 求めた本数は，もう一方の配り方でも計算して 検算 する
「差をそろえて人数を出す」手順は，数字が変わっても使える型で，中学の方程式にもつながります。過不足算は練習した分だけ安定して得点できる分野なので，くり返し取り組んで自分のものにしましょう。
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本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
Index
大問ごとの解説
FAQ
よくある質問
過不足算は何に注目して解けばよいですか？
配る数を変えたときに、必要な個数が『どれだけ変わったか』に注目します。この問題は15本ずつだと13本不足、12本ずつだと8本あまるので、必要数のちがいは13＋8＝21本です。一方、1人に配る数は15−12＝3本ちがいます。21本のちがいが1人あたり3本の積み重ねで生まれているので、21÷3＝7人と人数が求められます。
「不足」と「あまり」はたすのですか、引くのですか？
一方が不足で他方があまりのときは『たす』、両方とも不足（または両方あまり）のときは『引く』のが原則です。この問題は13本不足と8本あまりなので、差の合計は13＋8＝21本とたします。不足は『あと何本いる』、あまりは『何本いらなかった』で向きが反対なので、合わせるとそのちがいが大きくなる、とイメージすると間違えません。
過不足算は中学のどの単元につながりますか？
中学では連立方程式で解く問題に直接つながります。子どもの人数を□人とすると、えんぴつの本数は『15×□−13』とも『12×□＋8』とも書け、この2つが等しいことから□が求められます。小学生のうちに『差をそろえて人数を出す』考え方を身につけておくと、中学で方程式を学んだときもスムーズに理解できます。
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