愛光中2012 大問1(1)〜(5)｜計算・食塩水・所持金・規則性を解説
愛光中学校2012年度（平成24年度）算数の大問1(1)〜(5)を解説。四則計算・逆算・食塩水の濃度・所持金の比・タイルに硬貨を並べる規則性を、表や図で一つずつていねいに整理します。高松市の学習塾クローネ学園。
この問題について
愛光中学校 2012 年度（平成 24 年度）の大問 1 は、いろいろな分野の小問が並ぶ問題です。この記事では前半の (1)〜(5) をあつかいます。四則計算・逆算・食塩水の濃度・所持金の比・規則性と、はば広い力が問われます。一つひとつ、どこに注目して整理するかを表や図で確認していきます。
同じ愛光中の2010年 大問1前半・大問2（速さ）・大問3（分数の数列）の解説もあわせてご覧ください。この記事では次のことをあつかいます。
- (1) 小数と分数がまじった四則計算
- (2) □ を求める逆算
- (3) 食塩水の濃度（天びん）
- (4) 所持金の比と実際の金額
- (5) タイルに硬貨を並べる規則性
愛光中（2012）1
次の各問題の □ にあてはまる数を求めなさい。答だけでよい。
難易度: ★★★☆☆ 分野: 小問集合（計算・食塩水・所持金・規則性） 目安時間: 12分
1 （1）
1313 × 0.7 −（512 − 3.75）÷（2.25 − 112）
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計算の順序は「×÷・カッコは数字とくっついてグループを作る」で考えます。まず 2 つのカッコの中を先に計算します。
次に、かけ算・わり算のグループを計算します。
最後にひき算をして、
（答）7
KRONE ポイント
分数と小数がまざった計算は、先に分数へそろえると約分が見えて速くなります。カッコとかけ算・わり算のグループを先に片づけ、最後にたし算・ひき算です。
1 （2）
｛ 9.2 ÷（14755 − □）｝ ÷ 129 ＝ 6
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逆算は、いちばん外側の計算から順にもどしていきます。まず「÷ 129 ＝ 6」をもどすと、
次に「9.2 ÷（ ）」をもどします。わる数（ ）は、
最後に □ を求めます。
（答）35
KRONE ポイント
逆算は「外側から」。かけ算・わり算・ひき算を、式の外側にあるものから 1 つずつ反対の計算でほどいていくと、迷わずに □ にたどりつけます。
1 （3）
A, B 2 種類の食塩水があります。A と B を 40g ずつ混ぜると濃度は 10% になりました。さらに、A を 40g 混ぜると濃度は 9% になりました。A の濃度は ① ％で、B の濃度は ② ％です。
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食塩水を混ぜる問題は、天びんで考えると濃度の差が一目で見えます。天びんは「重さ × うでの長さ が左右でつり合う」道具で、うでの長さ（濃度の差）の比が、重さの逆比になります。混ぜる 2 回を、うでの左右をそろえて上下に並べます。
KRONE ポイント
A と B の濃度は変わらず重さだけ変えて混ぜるので、天びんは上下に並べて書きましょう。
1 （4）
A 君と B 君のはじめの所持金の比は 6：5 でした。A 君が自分の所持金の 34 を、B 君が 3600 円をそれぞれ使ったところ、A 君と B 君の残金の比は 3：4 になりました。B 君が使ったお金と B 君の残金との比をもっとも簡単な整数の比で表すと ①：② です。また、A 君のはじめの所持金は ③ 円です。
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この問題には比が 2 種類出てきます。はじめの所持金の比 6：5（丸数字であらわす）と、残金の比 3：4（四角数字であらわす）です。この 2 つを表にならべて、丸と四角をつなぎます。
はじめを A ＝ 6、B ＝ 5 とおきます。A 君は 34 使うので残金は 6 × 14 ＝ 1.5。B 君は 3600 円使うので残金は 5 − 3600 円。この残金が 3：4 なので、A 君の残金を 3、B 君の残金を 4 とおきます。
| A 君 | B 君 | |
|---|---|---|
| はじめ | 6 | 5 |
| 使った | × 34 | − 3600 円 |
| 残金 | 1.5 ＝ 3 | 5 − 3600 ＝ 4 |
1.5 ＝ 3 なので、
B 君の残金の式にあてはめると、
1 ＝ 600 円なので、B 君の残金は 4 ＝ 600 × 4 ＝ 2400 円。B 君が使ったお金と B 君の残金の比は、
A 君のはじめの所持金は、
KRONE ポイント
表で整理しながら①解法で解きましょう。
1 （5）
右の図のように、たて、横同じ枚数ずつ敷きつめたタイルに、100 円玉と 50 円玉を、1 番上の列の左端から右へ順に、100 円玉、50 円玉、100 円玉、50 円玉、……と交互に 1 枚ずつ置いていきます。1 番上の右端まで置いたら、2 番目の列の左端から右へそのまま続けて交互に置いていきます。これをくり返して、すべてのタイルに硬貨を置いていきます。タイルをたて、横 8 枚ずつ敷きつめたとき、そこに置いた硬貨の合計金額は ① 円です。また、置いた硬貨の合計金額が 16900 円のとき、タイルをたて、横に ② 枚ずつ敷いています。
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たて横 8 枚なら、タイルは 8 × 8 ＝ 64 枚（マス）。左上から 100 円、50 円、100 円、50 円…と交互に置くので、64 マスのうち 100 円玉が半分、50 円玉が半分です。
合計金額は、
次に、合計が 16900 円になるたて横の枚数を求めます。100 円と 50 円が同じ枚数ずつ並ぶとき、2 枚 1 組（100 ＋ 50 ＝ 150 円）で数えられます。もし枚数が偶数なら合計は必ず 150 の倍数ですが、
とわり切れず、100 円が 1 枚多いことがわかります。これは全体のマス数が奇数のとき、つまりたて横が奇数枚のときに起こります。100 円が 1 枚多い分の 100 円を引いて 2 枚 1 組で数えると、
1 組は 2 枚なので、マスは全部で 112 × 2 ＋ 1 ＝ 225 枚。たて横が同じ枚数なので、
KRONE ポイント
規則的に並ぶ硬貨は、全部数えずに「100 円と 50 円が何枚ずつか」を先につかみます。偶数マスなら 150 円の組でぴったり、奇数マスなら 100 円が 1 枚あまる——この見分けが逆算の手がかりになります。
この問題から学ぶこと
大問 1 の前半は、分野はちがっても「どこに注目して整理するか」という同じ土台の上にあります。(1)(2) の計算はグループと逆算の順序、(3) の食塩水は天びんで見る濃度の差、(4) の所持金は比と実数をつなぐ橋、(5) の規則性は数えずに枚数の規則をつかむこと。どれも「やみくもに計算する」前に、注目する見方を決めて図や式に置きなおしています。
初めて見る問題でも、「変わらないものは何か」「比を実数に変える条件はどれか」を自分で見つけられれば、落ち着いて崩していけます。
クローネ学園での指導
クローネ学園では、こうした小問集合を「1 問ずつ解き方を覚える」のではなく、問題ごとに注目する見方を自分で決める練習として指導します。食塩水なら天びん、所持金なら比の 1 あたり、規則性なら硬貨の枚数——「何に注目すればよいか」を見抜く目を育てることが、初見の問題に強くなる近道です。
思考力を育てる指導のポイント: 答えの数値より「なぜその量に注目したのか」を説明できることを重視します。分野がちがっても、整理のしかたの型は共通していると気づけると、算数がぐっと見通しよくなります。
まとめ
- (1)(2) 計算・逆算は、カッコとかけ算・わり算のグループ、外側からのもどしで順序よく
- (3) 食塩水は天びんで、重さの逆比＝うでの長さ（濃度の差）の比として濃度を求める
- (4) 所持金は比でおき、実際の金額（3600 円）が比のいくつかを見つけて実数につなぐ
- (5) 規則性は 100 円・50 円の枚数を規則からつかみ、合計や枚数を組み立てる
同じ愛光中の2010年 大問1前半・大問2・大問3の解説もあわせてご覧ください。
クローネ学園では、中学受験を目指す小学生の算数・国語の指導を行っています。 高松市で中学受験対策の学習塾をお探しの方は高松市の小学生向け学習塾もあわせてご覧ください。無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。
本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
FAQ
よくある質問
食塩水を混ぜる問題は、どう整理すればよいですか？
天びんで考えると濃度の差が一目で見えます。天びんは重さ×うでの長さがつり合う道具で、うでの長さ（濃度の差）の比は重さの逆比になります。この問題では、80gと40gを混ぜた9%の天びんから重さ2:1の逆比1:2でAの濃度7%を、40gと40gを混ぜた10%の天びんが真ん中になることからBの濃度13%を求めます。重い方に支点が寄る、と覚えておくのがコツです。
所持金の比の問題で、比と実際の金額はどうつなぎますか？
比だけでは実際の金額は出ません。この問題ではA:B＝6:5とおき、Bが使った3600円という「実際の金額」が比のいくつにあたるかを式で結びます。残金の比が3:4になる条件から比の1あたりの金額が決まり、そこから各人の所持金がわかります。比を実数に変える手がかりの条件を見つけるのが鍵です。
タイルに硬貨を並べる規則性の問題のコツは？
全部を数え上げるのではなく、100円玉と50円玉が何枚ずつあるかを規則から求めます。左上から交互に置くので、マスの数の半分ずつが目安です。たて横同じ枚数なら、マスの総数から100円と50円の枚数を出し、合計金額を組み立てます。合計から枚数を逆算するときも、この規則が手がかりになります。
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