愛光中2010 大問2｜速さの比と旅人算を1問ずつ解説（自転車・走る・歩く）
愛光中学校2010年度（平成22年度）算数の大問2を解説。同じ道のりを自転車・走る・歩くでかかった時間から速さの比を求め、つるかめ算で自転車に乗った時間を出し、距離の比から歩く速さを求めます。速さの比の使い方を一つずつていねいに。高松市の学習塾クローネ学園。
この問題について
愛光中学校 2010 年度（平成 22 年度）の大問 2 は、速さをテーマにした 1 題です。同じ家から駅までの道のりを「自転車・走る・歩く」の 3 通りで進んだときの時間が与えられ、途中で乗り物や進み方を変えながら移動する場面をあつかいます。3 つの小問は少しずつ積み上がっていく形になっていて、前の答えを次に使う流れです。あわてて公式に当てはめず、「いま何がわかっていて、何を求めたいのか」を一つずつ整理していくことが大切です。
同じ年度の大問1（計算・数の性質・図形）は前半の解説・後半の解説をご覧ください。この記事では次のことをあつかいます。
- 速さのちがう 3 つの進み方（自転車・走る・歩く）の関係の表し方
- 途中で進み方を変えたときの、区間ごとの時間の分け方
- それぞれの区間の距離と速さのつながり
愛光中（2010）2
A 君が家から駅まで行くのに、自転車なら 30 分、走ると 1 時間 10 分、歩くと 1 時間 45 分かかります。家から駅までの間に P 地点と Q 地点があります。A 君はある日、家から P まで自転車で行き、P から Q まで 11 分間走り、Q から駅まで歩いたところ、家から駅まで 47 分かかりました。ただし、自転車の速さ、走る速さ、歩く速さは、それぞれ一定とします。
難易度: ★★★☆☆ 分野: 速さの比・旅人算・つるかめ算 目安時間: 8分
2 （1）
自転車の速さ、走る速さ、歩く速さの比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
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同じ家から駅までの道のりを、それぞれのやり方で進んでいます。同じ道のりを進むとき、速さと時間は反比例します。速い方法ほど、かかる時間は短くなるからです。
まず、かかった時間を分にそろえます。自転車 30 分、走ると 1 時間 10 分 ＝ 70 分、歩くと 1 時間 45 分 ＝ 105 分です。この時間の比を、まず約分してかんたんにします。
速さの比は、この時間の比の逆比になります。時間の逆数をとって、
分母（6・14・21）の最小公倍数 42 を全部にかけると、整数の比 7 ： 3 ： 2 になります。
（答）7 ： 3 ： 2
KRONE ポイント
「同じ道のり」ときたら、速さの比は時間の逆比です。逆比は「順番をひっくり返す」ことではなく、それぞれの逆数（1 をその数でわった数）の比をとることです。時間が 6 : 14 : 21 なら、速さは 、通分して 7 : 3 : 2 となります。まず時間を同じ単位（分）にそろえ、約分してから逆数をとるのが確実です。
2 （2）
自転車に乗っていたのは何分間ですか。
答え・解説を見る
速さの比が 7 : 3 : 2 とわかったので、自転車の速さを7、走る速さを3、歩く速さを2 とおいて考えます。速さを比の数のまま使うと、道のりも同じ単位でそろえて追えます。まず家から駅までの道のりは、自転車で 30 分かかることから、
この日は、家から P まで自転車、P から Q まで 11 分走り、Q から駅まで歩きました。走る速さは3なので、走った道のりは、
残りの道のり 210 − 33 ＝ 177 を、自転車（速さ7）と歩き（速さ2）で進んだことになります。かかった時間は、全体 47 分から走った 11 分を引いて、
ここで、自転車と歩きの合計 36 分で、合計 177 の道のりを進んだという関係を、つるかめ算で解きます。もし 36 分すべて歩き（速さ2）だったら道のりは 2 × 36 ＝ 72 にしかなりません。実際は 177 なので、その差を、歩きより速い自転車（速さ7）に置きかえて埋めます。
（答）21 分
KRONE ポイント
速さの比を「そのままの速さ」として使うと、道のりや時間を数で追えます。合計の時間と合計の道のりがわかれば、速さのちがう 2 つの区間はつるかめ算で分けられます。
2 （3）
P から Q までの距離は Q から駅までの距離より 75m 長い。歩く速さは毎分何 m ですか。
答え・解説を見る
まず、それぞれの区間の時間を整理します。走ったのは 11 分、自転車が (2) より 21 分だったので、歩いた時間は、
P から Q は「走り」の区間、Q から駅は「歩き」の区間です。(2) と同じく速さを3・2のまま使って、それぞれの道のりを出します。
P から Q は Q から駅より 75m 長い、という条件から、道のりの差 33 − 30 ＝ 3 が、実際の 75m にあたります。ですから道のりの 1 は、
Q から駅までの道のりは 30 なので、
歩いた区間は Q から駅で、道のり 750m を 15 分で歩いたので、歩く速さは、
（答）毎分 50m
KRONE ポイント
道のりの差と実際の長さを結びつけるのが急所です。速さを比の数のまま使うと、P から Q（33）と Q から駅（30）の差 3 が 75m にあたるとわかり、道のりを実際の m に直せます。速さ ＝ 道のり ÷ 時間 で最後に歩く速さを求めます。
この問題から学ぶこと
大問 2 が教えてくれるのは、速さの問題は「比」で考えると一本につながるということです。(1) で作った 7 : 3 : 2 という速さの比を、そのまま実際の速さのように使い続けることで、(2) の時間も (3) の距離もすべて同じ土台の上で追えます。区間ごとに公式を当てはめ直すのではなく、一度作った比を最後まで持ちこすのが、この問題のいちばんの学びどころです。
特別な発想はいりません。「同じ道のりなら速さと時間は逆比」という一つの見方を、区間ごとにていねいに当てはめていくだけです。
クローネ学園での指導
クローネ学園では、速さの問題を「はじき（み・は・じ）」の公式にあてはめるだけの解き方では教えません。同じ道のり・同じ時間・同じ速さのどれがそろっているかを見つけ、比で結びつける——その手前の見極めを言葉にする指導をしています。(1) で「同じ道のりだから時間の逆比」と自分で言えるかどうかが、(2)(3) まで解ききれるかの分かれ目になります。
計算や比の反復には、登録不要・無料で使えるクローネらぼの計算ドリルが役立ちます。毎日少しずつ続けることが、速さの問題を落ち着いて解く力につながります。
速さの比と旅人算の解き方（まとめ）
- 同じ道のりを進むとき、速さの比はかかった時間の逆比になる（7 : 3 : 2）
- 速さの比を実際の速さとして使うと、道のりや時間を数で追える
- 合計の時間と合計の道のりがわかれば、速さのちがう 2 区間はつるかめ算で分けられる
- 距離の比の差が実際の長さ（75m）にあたることを使えば、比を m に直せる
同じ年度のほかの問題は大問1前半・大問1後半の解説もあわせてご覧ください。
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本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
Index
大問ごとの解説
FAQ
よくある質問
同じ道のりを進んだときの速さの比はどう求めますか？
同じ道のりを進むとき、速さと時間は反比例します。つまり速さの比は、かかった時間の比の「逆比」になります。(1)では自転車30分・走る70分・歩く105分なので、速さの比は 1/30 : 1/70 : 1/105 = 7 : 3 : 2 と求まります。時間が短いほど速い、という当たり前の関係を比で表すのがコツです。
自転車に乗っていた時間はどう求めますか？
全体の道のりを速さの比で表し、走った分を引いて、残りを自転車と歩きで分けます。(2)では自転車の速さを7とすると全体の道のりは7×30=210。走った分33を引いた177を、自転車(速さ7)と歩き(速さ2)で進みます。合計時間は47−11=36分なので、つるかめ算で自転車の時間が21分と求まります。
歩く速さは何を手がかりに求めますか？
(3)では、走った距離と歩いた距離を速さの比で表し、その差が実際の75mにあたることを使います。走り11分・歩き15分なので距離の比は(3×11):(2×15)=11:10。差の1が75mにあたるので、Q〜駅の道のり(比10)は750m。これを歩いた時間15分で割って、歩く速さは毎分50mと求まります。
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