愛光中2012 大問2｜PQ間を往復する2人の速さの問題を解説
愛光中学校2012年度（平成24年度）算数の大問2を解説。P地点とQ地点の間を往復する2人が2回出会う速さの問題を、ダイヤグラムのちょうちょ型相似で速さの比A：B＝3：4を導き、往復時間や出発時刻を求めます。高松市の学習塾クローネ学園。
この問題について
愛光中学校 2012 年度（平成 24 年度）の大問 2 は、P 地点と Q 地点の間を往復する 2 人が出会う速さの問題です。2 人が 2 回出会う、その時刻と場所が手がかりになります。動きが複雑に見えますが、ダイヤグラムをかき、出会いの交点にできるちょうちょ型の相似に注目すると、速さの比までひと息で見通せます。
同じ愛光中の2012年 大問1前半・大問1後半・2010年 大問2（速さ）の解説もあわせてご覧ください。
愛光中（2012）2
A 君は P 地点を出発し、Q 地点で折り返して P 地点にもどります。また、B 君は Q 地点を出発し、P 地点で折り返して Q 地点にもどります。A 君は 8 時 00 分に P 地点を出発し、B 君は A 君より少し遅れて Q 地点を出発しました。A 君と B 君は 8 時 36 分にはじめてすれちがい、9 時 24 分に P 地点と Q 地点のちょうど真ん中で再びすれちがいました。A 君と B 君の速さはそれぞれ一定とします。
難易度: ★★★☆☆ 分野: 速さ（往復・出会い） 目安時間: 6分
定義
まずは自分でダイヤグラム（縦が位置、横が時刻）をかいてみましょう。A 君・B 君の動きを線でかき、2 回の出会いがどこにくるかを、自分の手でつかむことに意味があります。
2 （1）
A 君が P 地点にもどってきたのは何時何分ですか。
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Aは PQの1.5本分を84分かけて進むので、往復するのに
（答）9 時 52 分
KRONE ポイント
時間がわかっているところに注目すると気づきやすいです。
2 （2）
A 君と B 君の速さの比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
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青色のちょうちょ型相似から、PQ の半分の距離を 7 とします。
8 時 36 分から 9 時 24 分の間に A は 12、B は 16 進むので、 A と B の速さの比は、
（答）3：4
KRONE ポイント
ダイヤグラムは相似が使える、つまり図形の知識も投入できる点が最大のメリットです。
2 （3）
B 君が Q 地点を出発したのは何時何分ですか。
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5 を進むのにかかる時間の比は、
A は 20 分かかるので、B は 15 分かかる。
（答）8 時 21 分
KRONE ポイント
ダイヤグラムでも距離一定で速さと時間は逆比が使えるようになりましょう。
この問題から学ぶこと
今回はダイヤグラムを用いて解説しましたが、線分図でも解けます。 まずは、自分が解きやすい方法で理解してください。 ダイヤグラムは図形の性質も使えるので、使い方になれると非常に便利です。
クローネ学園での指導
クローネ学園では、もちろん速さの問題は即座に線分図・ダイヤグラム整理から手を付けるように指導しています。 特に、この単元は問題条件が多いため、条件整理の力が合否を分けます。
往復する速さの問題の解き方（まとめ）
- 往復の出会いは、ダイヤグラムで整理する。縦が位置、横が時刻
- 出会いは 2 本の線の交点。往復は線を折り返してかく
- 2 つの出会いの間にできる「ちょうちょ型」の相似から、距離の比が読める
- 同じ時間に進んだ距離の比が、そのまま速さの比（この問題は A：B ＝ 3：4）
- 距離が一定のところでは、速さと時間は逆比。速さ 3：4 なら同じ距離を進む時間は 4：3
同じ愛光中の2012年 大問1前半・大問1後半・2010年 大問2（速さ）の解説もあわせてご覧ください。
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本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
Index
大問ごとの解説
FAQ
よくある質問
往復して出会う速さの問題は、どう考えればよいですか？
縦を位置・横を時刻にしたダイヤグラムをかくのがおすすめです。往復は線を折り返してかき、出会いは2本の線が交わる点として見えます。この問題では8時36分と9時24分の2つの交点、そして9時24分がちょうど真ん中、という条件がグラフの上ではっきりつかめます。
ダイヤグラムを使うと、どんな得がありますか？
ダイヤグラムの最大のメリットは、図形の相似（そうじ）が使えることです。出会いの交点を頂点にできる「ちょうちょ型」の相似から、時間の比と距離の比を結びつけられます。この問題でも、2つの出会いの間の三角形の相似から速さの比が求まります。
速さの比は、どこから求めますか？
ダイヤグラム上のちょうちょ型の相似を使います。PQの半分の距離を⑦とおくと、8時36分から9時24分までの間にA君は⑫、B君は⑯進むことが図から読めます。同じ時間に進んだ距離の比がそのまま速さの比なので、A：B＝12：16＝3：4です。
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