愛光中2012 大問4｜正方形の紙で帯を作り重ねる面積の問題を解説

この問題について

愛光中学校 2012 年度（平成 24 年度）の大問 4 は、1 辺 3cm の正方形の紙をのりしろ 1cm でつないで帯を作り、その帯を何本もずらして重ねる問題です。重なった部分が何枚になるかを、図をていねいに読んで数えるのがポイントです。

同じ愛光中の2012年 大問1前半・2010年 大問1前半の解説もあわせてご覧ください。

愛光中（2012）4

1 辺 3cm の正方形の紙がたくさんあります。このとき、次の問いに答えなさい。

難易度: ★★★★☆　 分野: 平面図形・重なりの面積　 目安時間: 15分

4 （1）

正方形の紙 10 枚を図 1 のようにはりつけて帯を作ります。のりしろを 1cm とするとき、帯の長さは何 cm になりますか。

4 （2）

正方形の紙 9 枚、8 枚、7 枚、…、2 枚を用いて (1) と同じように 8 本の帯を作ります。(1) の帯と合わせて 9 本の帯を、図 2 のように長い方から順に 1cm ずつずらしながらはっていきます。のりしろを 1cm としたとき、3 枚の紙が重なっている部分の面積の和は何 cm² になりますか。

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帯は下から 10 枚・9 枚・8 枚・…と、右に 1cm・上に 1cm ずつずらして重ねます。帯の高さは 3cm なので、上下にとなり合う 2 本の帯は、たてに 3 − 1 ＝ 2cm 分だけ重なります。

重なる枚数を色で分けると下の図のようになります。黄色が 3 枚重なっている部分、青が 2 枚だけ重なっている部分です。

上に 1cm ずつずれるので、3 本の帯が同時に重なる部分は、まん中の帯のたて 1cm 分だけです（下の帯とのずれ 1cm と、上の帯とのずれ 1cm の間）。この「3 枚重なり」＝黄色の部分は、たて 1cm 幅の横長の帯になります。

その横はばは、いちばん下の組で 17cm、次の組で 15cm、というように 2cm ずつ短くなり、最後は 3cm になります。黄色の帯だけを取り出すと、下の図のように段ごとに 2cm ずつ短くなっていくのがわかります。

全部で 8 組あるので、

17 ＋ 15 ＋ 13 ＋ 11 ＋ 9 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 ＝ 80

たて 1cm なので、面積はそのまま 80cm²。

（答）80 cm²

KRONE ポイント

ずらして重ねる問題は、「何枚が重なるか」をたての断面で考えます。上に 1cm ずつずれるので、3 枚重なるのはたて 1cm 分だけ。あとは横はばを 1 組ずつ足すだけです。

4 （3）

(2) のとき、2 枚だけ重なっている部分の面積の和は何 cm² になりますか。

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2 枚だけ重なっている部分は、(2) の色分け図の青い部分です。

青い部分を、下の図のように 4 つの種類に分けて数えます。

2 × 1 ＝ 2（cm²）

1 × 8 ＋ 1 × 7 ＋ … ＋ 1 × 2 ＝ 35（cm²）

1 × 2 × 8 ＝ 16（cm²）

2 × 9 ＝ 18（cm²）

この 4 つを合わせて、

2 ＋ 35 ＋ 16 ＋ 18 ＝ 71（cm²）

（答）71 cm²

KRONE ポイント

「2 枚だけ」の部分は、青いマスを同じ形ごとにグループに分けて数えると数えまちがいがへります。1cm² のマスがいくつ、たて 2cm のところがいくつ、と種類ごとに足していきましょう。

この問題から学ぶこと

細かい部分と全体を同時に見る力に加えて規則性の考え方が問われる問題です。

もう一つ大切なのが、(3) の 「同じ形ごとにグループに分けて数える」 考え方です。2 枚だけの部分は形がバラバラに見えますが、1cm² のマス・たて 2cm の部分…と種類ごとに分けてしまえば、それぞれ何個あるかを落ち着いて数えられます。ごちゃごちゃした図形を、数えやすい形に整理する力が問われます。

クローネ学園での指導

クローネ学園では、こうした公式を当てはめるだけでは解けない、パターン問題の一歩先の問題を解く力を育てることを重視しています。そのために、普段から図や表に整理しながら書いて考える指導をしています。

正方形の帯を重ねる問題のまとめ

• つないだ帯の長さ ＝ はじめの 1 枚 ＋（1 辺 − のりしろ）×（のばす回数）。のばす回数は枚数 − 1
• 上に 1cm ずつずらすと、3 枚重なりはたて 1cm・2 枚重なりはたて 2cm 分
• 「2 枚だけ」は、青い部分を同じ形ごとにグループに分けて数える

同じ愛光中の2012年 大問1前半・2010年 大問1前半の解説もあわせてご覧ください。

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