香川県公立高校入試2024 問題5｜円と相似・合同の証明（円周角の定理）

この問題について

香川県公立高校入試 2024 年度の問題 5 は，円と三角形を組み合わせた図形の証明問題です。円周上の3点でできる鋭角三角形に，垂線や円との交点を次々に書き加えていき，(1)で相似，(2)で合同を証明します。

証明問題は「何を使えばよいか」が見えないと手が止まります。この問題の急所は，円周角の定理で離れた角を結びつけることと，二等辺三角形の性質を使うことの2つです。この記事では次のことを解説します。

• 円の図形証明で最初に注目すべきポイント
• (1) 相似の証明（対頂角＋円周角の定理）
• (2) 合同の証明（直角三角形の合同＋円周角＋二等辺三角形）
• 証明の方針をどう立てるかの考え方

---

香川県公立高校入試（2024）問題 5

右の図のような円があり，異なる3点 A，B，C は円周上の点で，△ABC は鋭角三角形である。 点 A から辺 BC に垂線をひき，その交点を D とする。 直線 AD と円との交点のうち，点 A と異なる点を E とし，点 C と点 E を結ぶ。 線分 AD 上に CE ＝ CF となる点 F をとる。 直線 CF と円との交点のうち，点 C と異なる点を G とし，辺 AB と線分 CG との交点を H とする。 また，点 B と点 G を結ぶ。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。

• （1）△ACH ∽ △GBH であることを証明せよ。
• （2）点 A と点 G，点 B と点 F をそれぞれ結ぶとき，△ABF ≡ △ABG であることを証明せよ。

難易度: ★★★★☆　 分野: 円と相似・合同の証明（円周角の定理） 目安時間: 15分

---

円の図形証明の解き方（解法のポイント）

円がからむ証明では，使う道具がだいたい決まっています。次の順に探すと方針が立ちます。

1. 円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい。離れた場所の角どうしを結びつける最強の道具
2. 対頂角・共通な辺や角：図から無条件で言える等しい関係をまず書き出す
3. 二等辺三角形の性質：等しい辺があれば，底角が等しい・頂角の二等分線が底辺を二等分する
4. 集めた等しい関係を，相似条件・合同条件にあてはめる

「いきなり結論の三角形を比べない」のがコツです。まず使える材料を全部集めてから組み立てます。一問ずつ見ていきましょう。

---

問題 5 （1）

△ACH ∽ △GBH であることを証明せよ。

答え・解説を見る

対頂角は等しいので $\angle \text{AHC}=\angle \text{GHB}$ で，$\overgroup{\text{AG}}$ において円周角の定理より $\angle \text{ACH}=\angle \text{GBH}$ となる。

ゆえに，$\triangle \text{ACH}$ と $\triangle \text{GBH}$ において2組の角がそれぞれ等しいので $\triangle \text{ACH} \backsim \triangle \text{GBH}$ が示された。

KRONE ポイント

相似は「2組の角が等しい」を狙うのが基本です。1つは対頂角（点 H で交わる）ですぐ手に入り，もう1つを $\overgroup{\text{AG}}$ の円周角で見つけます。

問題 5 （2）

点 A と点 G，点 B と点 F をそれぞれ結ぶとき，△ABF ≡ △ABG であることを証明せよ。

答え・解説を見る

まず，補助となる2つの三角形の合同を示します。

$\triangle \text{CDE}$ と $\triangle \text{CDF}$ において，CD は共通。仮定より $\text{CE}=\text{CF}$，また $\text{AD}\perp\text{BC}$ だから $\angle \text{CDE}=\angle \text{CDF}=90^{\circ}$。直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので

$$\triangle \text{CDE}\equiv\triangle \text{CDF}$$

よって $\angle \text{DCE}=\angle \text{DCF}$ …1，$\angle \text{CED}=\angle \text{CFD}$ …2

つぎに $\triangle \text{ABF}$ と $\triangle \text{ABG}$ において，辺 AB は共通 …3

［角 ∠BAF と ∠BAG が等しいこと］

$\overgroup{\text{BE}}$ に対する円周角は等しいから $\angle \text{BAF}=\angle \text{DCE}$（∠BAE と ∠BCE）。 $\overgroup{\text{BG}}$ に対する円周角は等しいから $\angle \text{BAG}=\angle \text{DCF}$（∠BAG と ∠BCG）。 1 より

$\angle \text{BAF}=\angle \text{BAG}$ …4

［辺 AF と AG が等しいこと］

対頂角は等しいから $\angle \text{AFG}=\angle \text{CFD}$。 $\overgroup{\text{AC}}$ に対する円周角は等しいから $\angle \text{AGF}=\angle \text{CED}$。 2 より $\angle \text{AFG}=\angle \text{AGF}$。2つの角が等しいから $\triangle \text{AFG}$ は二等辺三角形で

$\text{AF}=\text{AG}$ …5

［合同の結論］

345 より，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

$$\triangle \text{ABF}\equiv\triangle \text{ABG}$$

KRONE ポイント

直接 $\triangle \text{ABF}$ と $\triangle \text{ABG}$ の辺や角を比べようとしても手が出ません。$\text{CE}=\text{CF}$ と垂線 AD から $\triangle \text{CDE}\equiv\triangle \text{CDF}$ を作り，そこで得た角を円周角の定理で点 A 側に移すのがこの問題の急所です。

---

この問題から学ぶこと

この問題が教えてくれるのは，証明はひらめきではなく，使える道具を順に試す作業だということです。円が出てきたら円周角の定理，等しい辺があれば二等辺三角形の性質，交わる直線があれば対頂角——というように，図の中の手がかりに対応する道具は決まっています。

特に大切なのは，いきなり結論の三角形を比べようとしないことです。(2)では △ABF と △ABG を直接見ても何も分かりませんが，先に △CDE ≡ △CDF という別の合同を作り，そこで得た等しい角を円周角の定理で点 A 側へ運ぶことで道が開けました。「結論から遠回りに見える補助の図形を先に作る」という発想は，難しい証明ほど効いてきます。

---

クローネ学園での指導

クローネ学園では，証明問題を「答えを覚える」のではなく，方針の立て方そのものを指導します。図を見たら，まず使える等しい関係（円周角・対頂角・共通・二等辺）をすべて書き出し，そこから相似条件・合同条件に向けて組み立てる——この手順を，自分の言葉で説明できるところまで練習します。

証明に強くなる指導のポイント: 「なぜその補助の三角形を作ったのか」を説明してもらいます。結論から逆算して必要な等式を見つける逆向きの思考ができると，初めて見る証明問題でも方針を立てられるようになります。

---

まとめ

• 円の証明は，まず円周角の定理で離れた角を結びつけることを疑う
• 対頂角・共通・二等辺三角形など，図から無条件で言える関係を全部書き出す
• (1) は対頂角＋円周角の2組の角で相似を示す
• (2) は直角三角形の合同（斜辺と他の1辺）を作り，円周角と二等辺の性質で点 A 側の角と辺を等しくして合同を示す
• 結論の三角形を直接比べず，補助の図形を先に作るのが難しい証明のコツ

---

クローネ学園では、高校受験を目指す中学生の数学・英語の指導を行っています。 高松市で中学生向けの学習塾をお探しの方は高松市の中学生向け学習塾もあわせてご覧ください。無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。