香川県公立高校入試2024 大問3｜確率・度数分布・放物線・整数の証明

この問題について

香川県公立高校入試 2024 年度の大問 3 は，分野のちがう 4 つの小問を集めた小問集合です。さいころの確率，度数分布表と四分位数，2 つの放物線を使った関数，そして奇数を 2 乗した数の整数の証明と，中学数学の主要分野が一通り顔を出します。

一つひとつは標準的なレベルですが，分野がバラバラなので「どの考え方を使う問題か」をすばやく見分ける力が問われます。この記事では次のことを解説します。

• 確率を表に書き出して数えもれを防ぐ方法
• 度数分布表から第 1 四分位数を含む階級と相対度数を求める手順
• 放物線の変化の割合の求め方と，2 つの放物線にはさまれた線分の長さの比べ方
• 奇数を文字で表して 4 の倍数であることを証明するときの注意点

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香川県公立高校入試（2024）大問 3

次の(1)〜(4)の問いに答えなさい。

• （1）1 から 6 までのどの目が出ることも，同様に確からしい 2 つのさいころ A，B がある。この 2 つのさいころを同時に投げるとき，2 つの目の数の積が 10 の約数になる確率を求めよ。

• （2）表は，ある学級の生徒 30 人について，ハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。この表から，この 30 人のハンドボール投げの記録の第 1 四分位数を含む階級の相対度数を求めよ。

  
  ハンドボール投げの記録$$\begin{array}{|c|c|} \hline 　&　\\[-.5em] \text{階級（m）} & 度数（人） \\[.5em] \hline 　&　\\[-.5em] \text{以上　　　未満} & \\[.5em] \text{10　　〜　　15} & 3 \\[.5em] \text{15　　〜　　20} & 6 \\[.5em] \text{20　　〜　　25} & 12 \\[.5em] \text{25　　〜　　30} & 9 \\[.5em] \hline 　&　\\[-.9em] \text{計} & 30 \\ 　&　\\[-.9em] \hline \end{array}$$

• （3）図で，点 O は原点であり，放物線 ① は関数 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x^2$ のグラフで，放物線 ② は関数 $\displaystyle y = -\frac{1}{2} x^2$ のグラフである。 2 点 A，B は放物線 ① 上の点で，点 A の $x$ 座標は $-4$ であり，線分 AB は $x$ 軸に平行である。点 C は線分 AB 上の点で，点 B と異なり，その $x$ 座標は正の数である。点 C を通り，$y$ 軸に平行な直線をひき，放物線 ①，放物線 ② との交点をそれぞれ D，E とする。 これについて，次のア，イの問いに答えよ。

  

  • ア　関数 $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ について，$x$ の値が1から3まで増加するときの変化の割合を求めよ。
  • イ　線分 CD の長さと，線分 DE の長さが等しくなるとき，点 C の $x$ 座標はいくらか。点 Cの $x$ 座標を $a$ として，$a$ の値を求めよ。
• （4）2 つの奇数がある。これらの数をそれぞれ 2 乗してできた 2 つの数の和に2を加えた数は 4 の倍数であることを，文字式を使って証明せよ。

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 小問集合（計算・方程式・平方根） 目安時間: 10分

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小問集合の解き方（解法のポイント）

小問集合は，1 問ごとに使う道具が切り替わります。だからこそ「いま何を問われているか」を最初に見きわめることが大切です。この大問では次の 4 つの道具を使い分けます。

1. 確率は，起こりうる場合を 表に書き出して 数える（数えもれ・重複を防ぐ）
2. 度数分布表は，全体を 4 等分する境目 で四分位数を考え，相対度数は度数÷全体で求める
3. 放物線は，変化の割合＝ y の増加量 ÷ x の増加量。線分の長さは座標の差で表す
4. 整数の証明は，奇数を 文字で表して 計算し，共通の数でくくって倍数を示す

どれも教科書どおりの基本ですが，「どの問題でどれを使うか」を一瞬で選べるかどうかが差になります。一問ずつ見ていきましょう。

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大問 3 （1）

1 から 6 までのどの目が出ることも，同様に確からしい 2 つのさいころ A，B がある。 この 2 つのさいころを同時に投げるとき，2 つの目の数の積が 10 の約数になる確率を求めよ。

答え・解説を見る

10 の約数は 1、2、5、10 です。 表で整理すると下のように 7 通りです。 したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{7}{36}$ です。

$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline \\[-.8em] \text{A} & 1 & 2 & 1 & 5 & 1 & 5 & 2 \\[.2em] \hline \\[-.8em] \text{B} & 1 & 1 & 2 & 1 & 5 & 2 & 5 \\[.2em] \hline \end{array}$$

（答）$\displaystyle \frac{7}{36}$

KRONE ポイント

場合の数・確率の問題で書き出して調べるときは、重複や不足に気づきやすい表 で整理しましょう。

大問 3 （2）

表は，ある学級の生徒 30 人について，ハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。この表から，この 30 人のハンドボール投げの記録の第 1 四分位数を含む階級の相対度数を求めよ。

ハンドボール投げの記録$$\begin{array}{|c|c|} \hline 　&　\\[-.5em] \text{階級（m）} & 度数（人） \\[.5em] \hline 　&　\\[-.5em] \text{以上　　　未満} & \\[.5em] \text{10　　〜　　15} & 3 \\[.5em] \text{15　　〜　　20} & 6 \\[.5em] \text{20　　〜　　25} & 12 \\[.5em] \text{25　　〜　　30} & 9 \\[.5em] \hline 　&　\\[-.9em] \text{計} & 30 \\ 　&　\\[-.9em] \hline \end{array}$$

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10m 以上 15m 未満の人が 3 人いますが、本当の記録はわかりません。 こういうときは階級の平均を使います。 大ざっぱに「全員12.5mだった」とします。 記録が低い人から 1 番とすると、度数分布表は図のようになります。

　1 2 3
　4 5 6 7 8 9
　10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
　22 23 24 25 26 27 28 29 30

四分位数は、全体を 4 等分するときの境界を表します。 全員で30人いるので $30 \div 4 = 7.5$ 人ずつのグループに分けます。 第 1 四分位数は下位 4 分の 1 のグループの境界を表すので、「15 以上 20 未満」の階級にあります。 相対度数（全体に占める割合）は $\displaystyle \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ です。

（答）$\displaystyle \frac{1}{5}$

大問 3 （3）

図で，点 O は原点であり，放物線 ① は関数 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x^2$ のグラフで，放物線 ② は関数 $\displaystyle y = -\frac{1}{2} x^2$ のグラフである。 2 点 A，B は放物線 ① 上の点で，点 A の $x$ 座標は $-4$ であり，線分 AB は $x$ 軸に平行である。点 C は線分 AB 上の点で，点 B と異なり，その $x$ 座標は正の数である。点 C を通り，$y$ 軸に平行な直線をひき，放物線 ①，放物線 ② との交点をそれぞれ D，E とする。 これについて，次のア，イの問いに答えよ。

• ア　関数 $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ について，$x$ の値が1から3まで増加するときの変化の割合を求めよ。
• イ　線分 CD の長さと，線分 DE の長さが等しくなるとき，点 C の $x$ 座標はいくらか。点 Cの $x$ 座標を $a$ として，$a$ の値を求めよ。

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ア　$x = 1$ のとき $\displaystyle y = -\frac{1}{2} \times 1^2 = -\frac{1}{2}$

$x = 3$ のとき $\displaystyle y = -\frac{1}{2} \times 3^2 = -\frac{9}{2}$

求める変化の割合は、

$$\frac{-\frac{1}{2}-(-\frac{9}{2})}{1-3} = \frac{4}{-2} = -2$$

（答）$-2$

イ　A の $y$ 座標は

$$\frac{3}{4} \times (-4)^2 = 12$$

C の $y$ 座標も 12 です。 D $\displaystyle \left( a, \frac{3}{4} a^2 \right)$、 E $\displaystyle \left( a, -\frac{1}{2} a^2 \right)$、 $\text{CD} = \text{DE}$ なので

$$\begin{aligned} 12 - \frac{3}{4} a^2 &= \frac{3}{4} a^2 - (-\frac{1}{2} a^2) \\[1em] 12 - \frac{3}{4} a^2 &= \frac{5}{4} a^2 \\[1em] \therefore a^2 &= 6 \end{aligned}$$

$a > 0$ なので $a = \sqrt{6}$ です。

（答）$a = \sqrt{6}$

KRONE ポイント

$\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{y\text{の増加量}}{x\text{の増加量}}$

大問 3 （4）

2 つの奇数がある。これらの数をそれぞれ 2 乗してできた 2 つの数の和に2を加えた数は 4 の倍数であることを，文字式を使って証明せよ。

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2 つの奇数を $2k-1$ と $2l-1$ とする。 ただし、$k$ と $l$ は整数とする。 それぞれ 2 乗する。

$$(2k - 1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 \\ (2l - 1)^2 = 4l^2 - 4l + 1$$

これらの和に2を加える。

$$\begin{aligned} (4k^2 - 4k + 1) + (4l^2 - 4l + 1) + 2 &= 4k^2 - 4k + 4l^2 - 4l + 4 \\ &= 4(k^2 - k + l^2 - l + 1) \end{aligned}$$

$k^2 - k + l^2 - l + 1$ は整数なので、$4(k^2 - k + l^2 - l + 1)$ は 4 の倍数である。

したがって、 2 つの奇数をそれぞれ 2 乗してできた 2 つの数の和に2を加えた数は 4 の倍数である。

KRONE ポイント

• 偶数は簡単に $2n$ と書けます。 奇数は偶数よりも 1 ズレているので $2n - 1$ とか $2n + 1$ と表せます。

• 「2 つの奇数」と書かれていますが、同じ奇数かどうかはわかりません 。 だから、2 つの奇数を $2k-1$、$2l-1$ と文字を分けて 2 種類の奇数を作りましょう。

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この問題から学ぶこと

小問集合で得点を伸ばすコツは，難しい 1 問に時間をかけることではなく，分野ごとの基本の手順を確実に身につけておく ことです。この大問の 4 問は，確率・資料の活用・関数・整数の証明という，入試で必ず問われる分野の代表例になっています。

特に大切なのは，問題を見た瞬間に「これは表に書き出す問題」「これは四分位数の問題」と道具を選べることです。手が止まる多くの原因は，計算力ではなく「どの考え方を使うかが決まらない」ことにあります。一問ごとに「いま何の道具を使ったか」を意識して解き直すと，初めて見る問題でも落ち着いて方針を立てられるようになります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，こうした小問集合を「たくさん解いて慣れる」だけで終わらせず，一問ごとに使った考え方に名前をつけて整理する ところまで指導します。確率なら「書き出して数える」，証明なら「文字で表してくくる」というように，道具を言葉で言えるようにしておくと，本番で迷わず引き出せるようになります。

得点力を育てる指導のポイント: 答え合わせのときに「なぜその解き方を選んだのか」を説明してもらいます。解法を選ぶ理由まで言葉にできると，似た問題はもちろん，少しひねった問題にも対応できる力が身につきます。

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まとめ

• 小問集合は，問題ごとに使う道具をすばやく見分けることが得点のカギ
• 確率は表に書き出して数えもれを防ぎ，分母・分子を正確に数える
• 度数分布表は全体を 4 等分する境目で四分位数を考え，相対度数は度数÷全体
• 放物線は変化の割合＝ y の増加量÷ x の増加量。線分の長さは座標の差で表す
• 整数の証明は，2 つの奇数を別々の文字で表し，共通の数でくくって倍数を示す

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