香川県公立高校入試2023 問題2｜円周角・三角柱の表面積と体積・正方形と円

この問題について

香川県公立高校入試 2023 年度の問題 2 は，図形をテーマにした 3 つの小問です。円周角，三角柱（空間図形），正方形と円という，出題の中心になる分野がそろって顔を出します。

一つひとつは有名な定理を使う標準問題ですが，「どの定理を，どの順番で使うか」を組み立てる力が問われます。この記事では次のことを解説します。

• 直径に対する円周角と，円周角の定理を使った角度の求め方
• 三角柱の表面積から柱の長さを逆算し，線分の長さと体積を求める考え方
• 正方形・垂線・円が組み合わさった線分の長さの求め方

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香川県公立高校入試（2023）問題 2

次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

• （1）図のような，線分 AB を直径とする円 O があり，円周上に 2 点 A，B と異なる点 C をとる。線分 AB 上に，2 点 A，B と異なる点 D をとる。2 点 C，D を通る直線と円 O との交点のうち，点 C と異なる点を E とする。点 A と点 C，点 B と点 E をそれぞれ結ぶ。 $\angle \text{BCE} = 35^\circ$，$\angle \text{ADC} = 60^\circ$ であるとき，$\angle \text{BEC}$ の大きさは何度か。

  

• （2）図のような三角柱がある。辺 DE 上に 2 点 D，E と異なる点 G をとり，点 G を通り，辺 EF に平行な直線と，辺 DF との交点を H とする。 $\text{AB} = 12\,\text{cm}$，$\text{BC} = 5\,\text{cm}$，$\text{DG} = 9\,\text{cm}$，$\angle \text{DEF} = 90^\circ$ で，この三角柱の表面積が $240\,\text{cm}^2$ であるとき，次のア，イの問いに答えよ。

  

  • ア　線分 GH の長さは何 cm か。
  • イ　この三角柱の体積は何 cm³ か。

• （3）図のような，正方形 ABCD がある。辺 CD 上に，2 点 C，D と異なる点 E をとり，点 A と点 E を結ぶ。点 D から線分 AE に垂線をひき，その交点を F とし，直線 DF と辺 BC との交点を G とする。点 A を中心として，半径 AB の円をかき，線分 DG との交点のうち，点 D と異なる点を H とする。 $\text{AB} = 5\,\text{cm}$，$\text{DE} = 2\,\text{cm}$ であるとき，線分 GH の長さは何 cm か。

  

難易度: ★★★☆☆　 分野: 図形（円周角・空間図形・平面図形） 目安時間: 15分

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問題 2 （1）

図のような，線分 AB を直径とする円 O があり，円周上に 2 点 A，B と異なる点 C をとる。線分 AB 上に，2 点 A，B と異なる点 D をとる。2 点 C，D を通る直線と円 O との交点のうち，点 C と異なる点を E とする。点 A と点 C，点 B と点 E をそれぞれ結ぶ。$\angle \text{BCE} = 35^\circ$，$\angle \text{ADC} = 60^\circ$ であるとき，$\angle \text{BEC}$ の大きさは何度か。

答え・解説を見る

まず，求めたい $\angle \text{BEC}$ を，別の場所の角に置きかえられないかを考えます。

$\angle \text{BEC}$ と $\angle \text{BAC}$ は，どちらも弧 BC に対する円周角です。同じ弧に対する円周角は等しいので，

$$\angle \text{BEC} = \angle \text{BAC}$$

となります。つまり，$\angle \text{BAC}$ を求めれば答えが出ます。

次に，AB が直径であることに注目します。直径に対する円周角は $90^\circ$ なので，

$$\angle \text{ACB} = 90^\circ$$

これで，三角形 ACD のなかで角を追いかけられます。$\angle \text{ACB} = 90^\circ$ を，AB 上の点 D で 2 つに分けて考えます。

$$\angle \text{ACB} = \angle \text{ACD} + \angle \text{DCB} = 90^\circ$$

ここで $\angle \text{DCB}$ は $\angle \text{BCE}$ のことなので $35^\circ$。よって，

$$\angle \text{ACD} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$$

三角形 ACD に注目すると，$\angle \text{ADC} = 60^\circ$，$\angle \text{ACD} = 55^\circ$ がわかっているので，残りの $\angle \text{CAD}$（＝$\angle \text{BAC}$）が求まります。

$$\angle \text{BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 55^\circ = 65^\circ$$

はじめに置きかえた $\angle \text{BEC} = \angle \text{BAC}$ より，

$$\angle \text{BEC} = 65^\circ$$

（答）$65^\circ$

KRONE ポイント

円周上の点で角度を求めるときは，まず円周角の定理の出番だと思い浮かべます。求めたい角を「同じ弧の円周角」に置きかえられないかを探すのが第一歩です。この問題も，$\angle \text{BEC}$ をいきなり求めようとすると手がかりが足りませんが，弧 BC を通して $\angle \text{BAC}$ に移せば，あとは「直径を見たら $90^\circ$」と三角形の内角の和だけで解けます。円周角の定理と直径の $90^\circ$ は，円の角度問題でまず取り出す 2 つの道具です。

問題 2 （2）

図のような三角柱がある。辺 DE 上に 2 点 D，E と異なる点 G をとり，点 G を通り，辺 EF に平行な直線と，辺 DF との交点を H とする。$\text{AB} = 12\,\text{cm}$，$\text{BC} = 5\,\text{cm}$，$\text{DG} = 9\,\text{cm}$，$\angle \text{DEF} = 90^\circ$ で，この三角柱の表面積が $240\,\text{cm}^2$ であるとき，次のア，イの問いに答えよ。

• ア　線分 GH の長さは何 cm か。
• イ　この三角柱の体積は何 cm³ か。

答え・解説を見る

この三角柱は，2 つの合同な三角形 ABC と DEF を底面（向かい合う面）とし，それらを AD，BE，CF の 3 本の辺でつないだ形です。まず底面の三角形の形をはっきりさせます。

$\angle \text{DEF} = 90^\circ$ で，DEF は ABC と合同なので，対応する $\angle \text{ABC}$ も $90^\circ$。つまり底面は，$\angle \text{B}$ が直角で，そこをはさむ 2 辺が $\text{AB} = 12\,\text{cm}$，$\text{BC} = 5\,\text{cm}$ の直角三角形です。斜辺 AC は三平方の定理で，

$$\text{AC} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13 \ (\text{cm})$$

ア　線分 GH の長さ

GH は，点 G を通り辺 EF に平行にひいた線が辺 DF と交わってできる線分です。GH と EF が平行なので，三角形 DGH と三角形 DEF は相似になります。

対応する辺の比を考えます。DE は底面の三角形の辺で，ABC と合同なことから $\text{DE} = \text{AB} = 12\,\text{cm}$，EF は $\text{BC} = 5\,\text{cm}$ にあたります。$\text{DG} = 9\,\text{cm}$ なので，相似比は

$$\text{DG} : \text{DE} = 9 : 12 = 3 : 4$$

したがって GH は EF の $\dfrac{3}{4}$ です。

$$\text{GH} = 5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 \ (\text{cm})$$

（答）$3.75\,\text{cm}$

イ　三角柱の体積

体積は「底面積 × 高さ」ですが，この三角柱の「高さ」にあたるのは，底面 ABC と底面 DEF をつなぐ辺の長さ（＝ AD＝BE＝CF）です。これがまだわかっていないので，$x\,\text{cm}$ とおき，表面積の条件から求めます。

表面積は，底面の三角形 2 つ分と，側面の長方形 3 つ分の合計です。底面の直角三角形の面積は，

$$\frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \ (\text{cm}^2)$$

側面 3 つは，底面の三角形の 3 辺（$12$，$5$，$13$）を横の長さ，$x$ をたての長さとする長方形です。3 つ分をまとめると，底面の周の長さ $\times\, x$ で計算できます。

$$(12 + 5 + 13) \times x = 30x \ (\text{cm}^2)$$

これらの合計が表面積 $240\,\text{cm}^2$ に等しいので，方程式を立てます。

$$\begin{aligned} 30 \times 2 + 30x &= 240 \\[.4em] 60 + 30x &= 240 \\[.4em] 30x &= 180 \\[.4em] x &= 6 \end{aligned}$$

柱の長さは $6\,\text{cm}$ とわかりました。体積は底面積 $30\,\text{cm}^2$ に，この長さをかけます。

$$30 \times 6 = 180 \ (\text{cm}^3)$$

（答）$180\,\text{cm}^3$

KRONE ポイント

柱体の表面積は，展開図を思い浮かべるのがいちばんの近道です。三角柱を開くと，底面の三角形 2 つと，側面がひとつながりの大きな長方形になります。側面の長方形は「たての長さ ＝ 柱の長さ」「横の長さ ＝ 底面の周の長さ」なので，1 面ずつたすより周の長さ × 柱の長さでまとめるほうが速く，ミスも減ります。わからない長さを文字で置き，展開図の面積を式にして方程式にするのが型です。

問題 2 （3）

図のような，正方形 ABCD がある。辺 CD 上に，2 点 C，D と異なる点 E をとり，点 A と点 E を結ぶ。点 D から線分 AE に垂線をひき，その交点を F とし，直線 DF と辺 BC との交点を G とする。点 A を中心として，半径 AB の円をかき，線分 DG との交点のうち，点 D と異なる点を H とする。$\text{AB} = 5\,\text{cm}$，$\text{DE} = 2\,\text{cm}$ であるとき，線分 GH の長さは何 cm か。

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GH は，線分 DG から DH を除いた残りの部分です。そこで DG と DH を別々に求め，最後に引き算をする，という方針で進めます。

まず DG を求める

DG は D から G までの線分で，G は辺 BC 上の点です。DG の長さを出すには，G が辺 BC のどこにあるか，つまり CG の長さがわかれば，直角三角形 DCG で三平方の定理が使えます。

そこで，三角形 ADE と三角形 DCG に注目します。この 2 つが合同であることを示します。

まず，AD と DC は正方形の辺なので $\text{AD} = \text{DC} = 5\,\text{cm}$。 また $\angle \text{ADE}$ と $\angle \text{DCG}$ は，どちらも正方形の角なので $90^\circ$ で等しい。

もう 1 組の角を，垂線の条件から出します。DF は AE に垂直なので，三角形 ADF は直角三角形で，

$$\angle \text{DAF} + \angle \text{ADF} = 90^\circ$$

一方，$\angle \text{ADC} = 90^\circ$ を点 F の側で 2 つに分けると，

$$\angle \text{ADF} + \angle \text{FDC} = 90^\circ$$

この 2 つの式を見比べると，どちらも「$\angle \text{ADF}$ を足して $90^\circ$」になっています。したがって，

$$\angle \text{DAF} = \angle \text{FDC}$$

$\angle \text{DAF}$ は $\angle \text{DAE}$，$\angle \text{FDC}$ は $\angle \text{GDC}$ のことなので，$\angle \text{DAE} = \angle \text{GDC}$ です。

これで，三角形 ADE と三角形 DCG は，1 組の辺（$\text{AD} = \text{DC}$）とその両端の角がそれぞれ等しいので合同です。対応する辺 DE と CG が等しく，

$$\text{CG} = \text{DE} = 2 \ (\text{cm})$$

直角三角形 DCG で三平方の定理を使うと，

$$\text{DG} = \sqrt{\text{DC}^2 + \text{CG}^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} \ (\text{cm})$$

次に DH を求める

H は，点 A を中心とする半径 $5\,\text{cm}$ の円が，直線 DG と交わってできる点です。DH は，この円の弦の一部と見ることができます。

ここで，円の中心 A から弦 DH（＝直線 DG）におろした垂線を考えます。すると，その垂線の足がちょうど点 F になります。なぜなら，F は AE 上にあり，DF は AE に垂直なので，AF と DG（直線 DF）は F で垂直に交わるからです。

円の中心からひいた弦への垂線は，その弦を二等分します。よって F は DH の中点で，

$$\text{DH} = 2 \times \text{DF}$$

DF は，直角三角形 ADE の斜辺 AE に，頂点 D からおろした垂線（高さ）です。直角三角形 ADE で $\text{AD} = 5$，$\text{DE} = 2$ なので，斜辺は

$$\text{AE} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} \ (\text{cm})$$

三角形 ADE の面積を 2 通りに表して DF を求めます。

$$\frac{1}{2} \times \text{AD} \times \text{DE} = \frac{1}{2} \times \text{AE} \times \text{DF}$$$$\frac{1}{2} \times 5 \times 2 = \frac{1}{2} \times \sqrt{29} \times \text{DF}$$

これを解くと，

$$\text{DF} = \frac{10}{\sqrt{29}}$$

したがって，

$$\text{DH} = 2 \times \frac{10}{\sqrt{29}} = \frac{20}{\sqrt{29}}$$

最後に GH を求める

GH は DG から DH を引いた長さです。DG は $\sqrt{29} = \dfrac{29}{\sqrt{29}}$ と直しておくと，引き算がそろってできます。

$$\begin{aligned} \text{GH} &= \text{DG} - \text{DH} \\[.4em] &= \frac{29}{\sqrt{29}} - \frac{20}{\sqrt{29}} \\[.4em] &= \frac{9}{\sqrt{29}} \\[.4em] &= \frac{9\sqrt{29}}{29} \end{aligned}$$

（答）$\displaystyle \frac{9\sqrt{29}}{29}\,\text{cm}$

KRONE ポイント

図の中に直角に交わる 2 直線（直角クロス）を見つけたら，まず合同や相似になる三角形を探すのがクローネの型です。この問題では，DF が AE に垂直という直角クロスから $\angle \text{DAE} = \angle \text{GDC}$ が導け，$\triangle \text{ADE} \equiv \triangle \text{DCG}$ が見えて CG＝2 が決まります。さらに同じ直角クロスは「AF が DG に垂直」とも読みかえられ，円の中心から弦への垂線が弦を二等分する性質につながって，$\text{DH} = 2\,\text{DF}$ が出ます。直角は，合同・相似と円の性質の両方を開ける鍵です。

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この問題から学ぶこと

図形の問題で差がつくのは，計算の速さよりも「使う定理を正しい順番で組み立てる力」です。この問題 2 は，その組み立て方を練習するのにちょうどよい 3 問がそろっています。

（1）は，求めたい角を「同じ弧の円周角」に置きかえてから，直径の $90^\circ$ を使う流れでした。（2）は，表面積を式にしてから，わからない長さを文字で置いて方程式にする流れ。（3）は，DG と DH を別々に求めてから引く，という大きな方針を最初に決めておくことがカギでした。

いずれも，いきなり答えに向かうのではなく，「まず何を求めれば，次につながるか」を先に見通しています。手が止まったときは，求めたいものを一度わきに置き，「今わかっていることから，何が新しく言えるか」を書き出してみると，道が開けます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，図形の問題を「解けた・解けない」で終わらせず，どの条件が，どの定理のスイッチになっているか を一緒に確認します。たとえば「直径」と書いてあれば $90^\circ$，「中心から弦への垂線」とあれば二等分，というように，条件と定理を結びつける引き出しを増やしていきます。

得点力を育てる指導のポイント: 図に書き込んだ角や長さを見て，「なぜその値が入るのか」を一つずつ言葉で説明してもらいます。理由を言えるようになると，条件の少しちがう問題や，見たことのない配置の問題でも，自分で方針を立てられる力が育ちます。

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図形の問題の解き方（まとめ）

• 円周上の角度を求めるときは，まず円周角の定理の利用を思い浮かべる。求めたい角を同じ弧の円周角に置きかえ，「直径を見たら $90^\circ$」も合わせて使う
• 柱体の表面積は展開図を思い浮かべる。側面はひとつながりの長方形になり，「底面の周 × 柱の長さ」でまとめられる。わからない長さは文字で置いて方程式にする
• 図の中に直角に交わる線（直角クロス）を見つけたら，合同・相似になる三角形を探す。直角は合同・相似と円の性質の両方を開ける鍵になる
• 長い線分は，求めやすい 2 つの部分に分けて，最後に引き算する（この問題では $\text{GH} = \text{DG} - \text{DH}$）

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