香川県公立高校入試2024 大問4｜碁石の規則性・立方体を動く点と三角錐の体積

この問題について

香川県公立高校入試 2024 年度の大問 4 は，「規則性」と「空間図形（点の移動）」を組み合わせた応用問題です。前半は碁石をくりかえし並べる規則性，後半は立方体の辺上を動く 2 つの点がつくる図形の体積と面積を扱います。

どちらも，目に見える状態を 文字や式に置きかえて考える 力が試されます。とくに後半の点の移動は，難関校でもよく出るテーマで，差がつきやすい問題です。この記事では次のことを解説します。

• 上段・下段でちがう周期の碁石を，最小公倍数で 1 セットにまとめて考える方法
• 碁石の白と黒の個数を文字で表し，比の式から $n$ を求める手順
• 立方体の辺上を動く点の位置を，時間から長さに直す考え方
• 三角錐の体積の求め方と，△APQ の面積を「全体から引く」で式に表すコツ
• 体積が等しくなる条件を 2 次方程式にして解く流れ

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香川県公立高校入試（2024）大問 4

次の(1)，(2)の問いに答えなさい。

• （1）白の碁石と黒の碁石がたくさんある。これらを下の図のように，上段には，1 列目から，白の碁石，黒の碁石の順にくりかえし並ぶように，それぞれの列に 1 個ずつ置き，下段には，1 列目から，黒の碁石，黒の碁石，白の碁石の順にくりかえし並ぶように，それぞれの列に 1 個ずつ置く。

  たとえば，上段も下段も 7 列目まで碁石を置いたとき，7 列目については，上段が白の碁石，下段が黒の碁石である。また，1 列目から 7 列目までに並んでいるすべての碁石のうち，白の碁石の個数は 6 個であり，黒の碁石の個数は 8 個である。

  

  これについて，次のア，イの問いに答えよ。

  • ア　次の文は，上段も下段も 2024 列目まで碁石を置いたとき，2024 列目の碁石について述べようとしたものである。文中の 2 つの〔　〕内にあてはまる言葉を，㋐，㋑から 1 つ，㋒，㋓から 1 つ，それぞれ選んで，その記号を書け。
  • 2024 列目については，上段が〔㋐白の碁石　㋑黒の碁石〕，下段が〔㋒白の碁石　㋓黒の碁石〕である。
  • イ　上段も下段も $n$ 列目まで碁石を置いたとき，$n$ 列目については，上段も下段も白の碁石であった。また，1 列目から $n$ 列目までに並んでいるすべての碁石のうち，白の碁石の個数と黒の碁石の個数の比は 8：11 であった。このときの $n$ の値を求めよ。

• （2）図 1 のような，1 辺の長さが 4cm の立方体がある。点 P は，点 A を出発して辺 AE，EF 上を通って毎秒 1cm の速さで点 F まで動く点であり，点 Q は，点 C を出発して辺 CB，BF 上を通って毎秒 1cm の速さで点 F まで動く点である。2 点 P，Q は同時に出発する。図 2 は，2 点 P，Q が同時に出発してから 5 秒後の状態を示したものである。

  これについて，あとのア〜ウの問いに答えよ。

  

  • ア　2 点 P，Q が同時に出発してから 4 秒後にできる三角すい APQD の体積は何 cm³ か。
  • イ　2 点 P，Q が同時に出発してから $x$ 秒後にできる △APQ の面積は何 cm² か。$4 < x < 8$ の場合について，$x$ を使った式で表せ。
  • ウ　$4 < x < 8$ とする。2 点 P，Q が同時に出発してから $x$ 秒後にできる三角すい APQD の体積が，2 点 P，Q が同時に出発してから 1 秒後にできる三角すい APQD の体積と等しくなるのは，$x$ の値がいくらのときか。$x$ の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

難易度: ★★★☆☆　 分野: 規則性・空間図形（点の移動） 目安時間: 12分

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規則性・点の移動の解き方（解法のポイント）

この大問は，前半（碁石）と後半（点の移動）でまったくちがう道具を使います。それぞれの場面で使う考え方を整理しておきましょう。

1. 周期がちがうものは，周期の最小公倍数 で 1 セットを作る（上段は 2 列，下段は 3 列なので 6 列で 1 セット）
2. 「何列目」「何個」を求めるときは，わり算の商とあまり でセット数と残りに分けて数える
3. 点の移動は，経過時間を辺の長さに直す ことがすべての出発点（毎秒 1cm なら $x$ 秒後は $x$cm）
4. 立体の体積は，高さがとりやすい面を底面に選ぶ（直角三角形を底面にすると辺がそのまま高さになる）
5. 斜めにできる面積は，全体から余分な三角形を引く と式にしやすい

特に後半は，図を見て「いま点がどこにいるか」を長さで言えるかどうかが勝負です。一問ずつ見ていきましょう。

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大問 4 （1）ア

文中の 2 つの〔　〕内にあてはまる言葉を，㋐，㋑から 1 つ，㋒，㋓から 1 つ，それぞれ選んで，その記号を書け。

2024 列目については，上段が〔㋐白の碁石　㋑黒の碁石〕，下段が〔㋒白の碁石　㋓黒の碁石〕である。

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6 列で 1 セットと見れば、このセットの繰り返しになっています。

$$2024 \div 6 = 337 \text{（セット）余り } 2 \text{（列）}$$

2024 列目は 2 列目と同じなので上段も下段も黒の碁石です。

（答）㋑　㋓

KRONE ポイント

各数列の周期の最小公倍数で 1 セットを作ると速く解けます。

大問 4 （1）イ

$n$ 列目が上段も下段も白の碁石で，白と黒の個数の比が 8：11 のときの $n$ を求めよ。

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上段も下段も白の碁石なので、$n$ は（6の倍数 + 3）列目と表されることがわかります。

$6k+3$ 列目とします。これは、$k$ セットと 3 列で終わっているということです。 1セットに白の碁石は5個、黒の碁石は7個なので、$6k+3$ 列目までに並んでいる碁石は、

$$\text{白：} 5k + 3 \qquad \text{黒：} 7k + 3$$

したがって、

$$\begin{aligned} (5k + 3):(7k + 3) &= 8 : 11 \\[.5em] 8(7k+3) &= 11(5k + 3) \\[.5em] 56k + 24 &= 55k + 33 \\[.5em] \therefore k &= 9 \end{aligned}$$

いま $n = 6k + 3$ としているので

$$n = 6 \times 9 + 3 = 57$$

（答）$n = 57$

大問 4 （2）ア

4 秒後にできる三角すい APQD の体積を求めよ。

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三角錐 APQD は下図のようになるから

$$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times 4 \times \frac{1}{3} = \frac{32}{3}$$

（答）$\displaystyle \frac{32}{3}$（㎝³）

大問 4 （2）イ

$4 < x < 8$ のとき，$x$ 秒後の △APQ の面積を $x$ の式で表せ。

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$\text{AE} + \text{EP} = x$ なので $\text{EP} = x - 4$ ㎝、 $\text{CB} + \text{BQ} = x$ なので $\text{BQ} = x - 4$ ㎝ です。 ですから、$\triangle \text{AEP}$ と $\triangle \text{ABQ}$ は合同です。

$$\begin{aligned} \triangle \text{AEP} &= \frac{1}{2} \times 4 \times (x - 4) \\ &= 2x-8 \\ \triangle \text{ABQ} &= 2x-8 \end{aligned}$$

$\text{PF} = \text{QF} = 8 - x$ なので

$$\begin{aligned} \triangle \text{PQF} &= \frac{1}{2} \times (8 - x) \times (8 - x) \\ &= \frac{1}{2} (64 - 16x + x^2) \\ &= \frac{1}{2} x^2 - 8x + 32 \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \triangle \text{APQ} &= 4 \times 4 - \left\{ 2(2x - 8) + \left( \frac{1}{2} x^2 - 8x + 32 \right) \right\} \\ &= 16 - \left\{ (4x - 16) + \left( \frac{1}{2} x^2 - 8x + 32 \right) \right\} \\ &= 16 - \left( \frac{1}{2} x^2 -4x + 16 \right) \\ &= - \frac{1}{2} x^2 + 4x \end{aligned}$$

（答）$\displaystyle - \frac{1}{2} x^2 + 4x$（㎝²）

KRONE ポイント

斜めの三角形の面積は 全体から引く が定石です。

大問 4 （2）ウ

$4 < x < 8$ で，$x$ 秒後の三角すい APQD の体積が 1 秒後の体積と等しくなる $x$ を求めよ。

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1秒後の三角錐 APQD の体積は、$\triangle$ AQD を底面と見て

$$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times 1 \times \frac{1}{3}$$

$x$ 秒後の三角錐 APQD の体積は、$\triangle$ APQ を底面と見て

$$\left( - \frac{1}{2} x^2 + 4x \right) \times 4 \times \frac{1}{3}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \left( - \frac{1}{2} x^2 + 4x \right) \times 4 \times \frac{1}{3} &= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times 1 \times \frac{1}{3} \\ -2 x^2 + 16x &= 8 \\ 2x^2 - 16x + 8 &= 0 \\ \therefore x^2 - 8x + 4 &= 0 \end{aligned}$$

$4 < x < 8$ より、$x = 4 + 2\sqrt{3}$ 秒後である。

（答）$x = 4 + 2\sqrt{3}$（秒後）

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは，目に見える状態を式に置きかえる という数学の基本姿勢です。碁石の問題では「白と黒の個数」を $5k+3$，$7k+3$ という文字式にし，点の移動では「点の位置」を $x-4$ や $8-x$ という長さに直しました。どちらも，ぱっと見では数えきれないものを，文字を使って一気に扱えるようにしています。

もう一つ大切なのが，求めにくいものは引き算で考える という発想です。△APQ の面積を直接求めようとすると高さがわかりませんが，正方形全体からまわりの 3 つの直角三角形を引くと，きれいな式になりました。「直接むずかしいなら，全体から引けないか」と考えるくせをつけておくと，図形の応用問題で大きな武器になります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，こうした規則性・点の移動の問題を「公式を覚えて当てはめる」のではなく，自分で図に書きこみながら状態を言葉にする ところから指導します。点の移動なら「$x$ 秒後に P はどこ？」を毎回声に出して長さで答えてもらい，立体なら「どの面を底面にすると高さが見える？」を一緒に考えます。

応用問題に強くなる指導のポイント: 答えが合っているかだけでなく，「なぜその面を底面に選んだのか」「なぜ全体から引いたのか」という選んだ理由まで説明してもらいます。理由を言葉にできると，はじめて見る図形でも自分で方針を立てられるようになります。

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まとめ

• 周期のちがうものは，最小公倍数で 1 セットを作ってわり算の商とあまりで数える
• 碁石の個数は文字で表し，比の式を立てて $n$ を求める
• 点の移動は，経過時間を辺の長さに直すことがすべての出発点
• 三角錐の体積は，高さがとりやすい直角三角形を底面に選ぶ
• 斜めにできる △APQ の面積は，正方形全体からまわりの三角形を引いて式にする
• 体積が等しくなる条件は 2 次方程式にして，範囲に合う解を選ぶ

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