香川県公立高校入試2024 数学 大問 1｜小問集合の解き方

この問題について

香川県公立高校入試2024年度の数学大問1は、計算や式の値、連立方程式、平方根、因数分解、大小比較を問う小問集合です。1問ずつは標準的な内容ですが、配点が大きく、ここを確実に取れるかどうかが入試全体の得点を大きく左右します。

特別なひらめきは必要ありません。求められるのは、基本のルールを正確に・速く使いこなす力です。この記事では7つの小問を一つずつ取り上げ、解き方の手順とミスを防ぐポイントを確認していきます。

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香川県公立高校入試（2024）大問 1

次の(1)〜(7)の問いに答えなさい。

• （1）$7 \times (-2) - (-5)$ を計算せよ。
• （2）$a=-3$ のとき， $\displaystyle a^2 + \frac{15}{a}$ の値を求めよ。
• （3）$\displaystyle 4 a^3 b^2 \div \frac{1}{2} ab$ を計算せよ。
• （4）連立方程式 $\left\{ \, \begin{aligned} & 3x+5y=4 \\ & x-y=4 \end{aligned} \right.$ を解け。
• （5）$\displaystyle \sqrt{50} - \sqrt{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$ を計算せよ。
• （6）$(x+3)^2-(x+3)-30$ を因数分解せよ。
• （7）次のア〜ウの数が，小さい順に左から右に並ぶように，記号ア〜ウを用いて書け。
• • ア $-\sqrt{11}$　　　イ 3　　　ウ $-4$

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 小問集合（計算・方程式・平方根） 目安時間: 10分

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小問集合で満点を取るコツ（解法のポイント）

大問 1で点を落とさないために意識したいのは、次の3つです。

1. 符号を最後まで丁寧に追う。負の数の計算やかっこの外し方で符号ミスが起きやすいので、途中式を省略しすぎないことが大切です。
2. √は「中を小さく」「分母に残さない」。平方根は素因数分解で簡単な形に直し、有理化してから計算すると安定します。
3. 共通の形に置きかえる。因数分解では同じカタマリを文字に置きかえ、大小比較では比べやすい形にそろえると、見通しよく解けます。

それでは、(1)から順に見ていきましょう。

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大問 1 （1）

$7 \times (-2) - (-5)$ を計算せよ。

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乗法($\times$)と除法($\div$)は、両隣の数字とブロックを作ること、 $-(-5)$ が $+5$ になることに注意します。

$$\begin{aligned} 7 \times (-2) - (-5) &= -14 + 5 \\ &= -9 \end{aligned}$$

（答）$-9$

KRONE ポイント

乗法と除法は、両隣の数字とブロックを作ります。

$$\begin{aligned} 5 - 6 \times 2 &= 5 - 12 \\ &= -7 \end{aligned}$$

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大問 1 （2）

$a=-3$ のとき， $\displaystyle a^2 + \frac{15}{a}$ の値を求めよ。

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$a = -3$ をそのまま代入します。$a^2$ は $(-3)^2=9$、負の数の 2 乗は正になることに注意します。

$$a^2 + \frac{15}{a} = (-3)^2 + \frac{15}{-3} = 9 + (-5) = 4$$

（答）$4$

KRONE ポイント

マイナスの数を偶数回かけるとプラス、奇数回かけるとマイナスになります。

$(-2) \times 3 \times 4 \div (-3)$ を計算しましょう。 かけ算（わり算も含む）の式の中にマイナスが 2 個あるので、答えは プラス確定 です。

$$\begin{aligned} (-2) \times 3 \times 4 \div (-3) &= 2 \times 3 \times 4 \div 3 \\ &= 8 \end{aligned}$$

かけ算・わり算のブロックは 最初に計算結果のプラス・マイナスを確定 させましょう。

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大問 1 （3）

$\displaystyle 4 a^3 b^2 \div \frac{1}{2} ab$ を計算せよ。

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$\displaystyle \frac{1}{2} ab$ について確認です。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} ab &= \frac{1}{2} \times \frac{a}{1} \times \frac{b}{1} \\[1em] &= \frac{ab}{2} \end{aligned}$$

わり算は逆数のかけ算 に直すので、

$$\begin{aligned} 4a^3 b^2 \div \frac{1}{2}ab &= 4a^3 b^2 \times \frac{2}{ab} \\[1em] &=\frac{4 a^3 b^2 \times 2}{ab} \\[1em] &= \frac{8a^3 b^2}{ab} \\[1em] &= 8a^2 b \end{aligned}$$

（答）$8a^2 b$

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大問 1 （4）

連立方程式 $\left\{ \, \begin{aligned} & 3x+5y=4 \\ & x-y=4 \end{aligned} \right.$ を解け。

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下の式 $x-y=4$ から $x=y+4$ とし、上の式に代入します。（代入法）

$$3(y + 4) + 5 y = 4 \\[1em] 3y + 12 + 5y = 4 \\[1em] 8y = -8 \quad \quad \therefore y = -1$$

$y = -1$ を $x = y + 4$ にもどすと

$$x = -1 + 4 = 3$$

（答）$x = 3,\ y = -1$

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大問 1 （5）

$\displaystyle \sqrt{50} - \sqrt{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$ を計算せよ。

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まず $\sqrt{50}$ を簡単にしましょう。

$$\begin{aligned} \sqrt{50} &= \sqrt{25 \times 2} \\ &= 5\sqrt{2} \end{aligned}$$

$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化（分母のルートを消すこと）します。

$$\begin{aligned} \frac{6}{\sqrt{2}} &= \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\[1em] &= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\[1em] &= 3\sqrt{2} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \displaystyle \sqrt{50} - \sqrt{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} &= 5\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} \\ &= 7\sqrt{2} \end{aligned}$$

（答）$7\sqrt{2}$

KRONE ポイント

ルートの中身が大きな数字のときは、最初に小さくしてしまう。

分母にルートがあったら 分母の有理化 をする。 分母にルートが 1 つだけなら、分子と分母にそのルートをかけるだけ。

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大問 1 （6）

$(x+3)^2-(x+3)-30$ を因数分解せよ。

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$x+3$ が共通して出てくるので、$A=x+3$ と置きかえると見やすくなります。

$$A^2 - A - 30 = (A-6)(A+5)$$

$A$ をもとの $x+3$ にもどします。

$$(x+3-6)(x+3+5)=(x-3)(x+8)$$

（答）$(x-3)(x+8)$

KRONE ポイント

同じカタマリが 2 回以上出てきたら、別の文字（Aとか）に置きかえる。 式が単純になって、展開し直すよりもミスが減ります。 最後、A をもとの式に直すのを忘れないようにしましょう。

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大問 1 （7）

ア $-\sqrt{11}$　イ 3　ウ $-4$ を小さい順に並べよ。

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正の数と負の数が混ざっているので、まず符号で大きく分けます。イの $3$ は正、ア $-\sqrt{11}$ とウ $-4$ は負なので、負の2つが小さい組です。

負の数どうしは、 絶対値が大きいほど小さい という性質を使います。$-\sqrt{11}$ と $-4$ を比べるため、$\sqrt{11}$ と $4=\sqrt{16}$ を比べます。

$$\sqrt{11} < \sqrt{16}=4$$

絶対値は $4$ のほうが大きいので、$-4 < -\sqrt{11}$ です。したがって、小さい順に並べると

$$-4 \;<\; -\sqrt{11} \;<\; 3$$

（答）ウ，ア，イ

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この問題から学ぶこと

大問 1 は「知っているかどうか」ではなく「正確にこなせるかどうか」を問う問題です。やり方そのものは授業で習った通りですが、本番では符号ミスや有理化のし忘れといった小さなつまずきが失点に直結します。

ポイントは、(5) の平方根なら「中を小さく・分母に残さない」、(6) の因数分解なら「共通のカタマリを置きかえる」、(7) の大小比較なら「比べやすい形にそろえる」というように、各単元の基本手順を手が勝手に動くレベルまで身につけることです。大問 1 を確実に取り切れるようになると、入試全体の得点が安定します。

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クローネ学園での指導

大問 1 を得点源にする指導のポイント: 公立入試の数学は、大問 1 の小問集合をどれだけ落とさないかで合計点が大きく変わります。授業では、計算・平方根・因数分解といった基本問題を「速く・正確に・同じ手順で」解く練習をくり返し、本番で符号ミスや有理化のし忘れが出ないところまで仕上げます。基礎を固めたうえで、関数や図形の応用にしっかり時間を割けるようにするのが、合格点への一番の近道です。

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まとめ

香川県公立高校入試2024年度の数学大問1は、基本を正確にこなす力を問う小問集合でした。要点を整理します。

• 計算・式の値は 符号を最後まで丁寧に追う（(1)＝$-9$、(2)＝$4$）
• 単項式の除法は 逆数のかけ算に直す（(3)＝$8a^2 b$）
• 連立方程式は 代入法で文字を1つに（(4)＝$x=3,\ y=-1$）
• 平方根は 中を小さく・分母に残さない（(5)＝$7\sqrt{2}$）
• 因数分解は 共通のカタマリを置きかえる（(6)＝$(x-3)(x+8)$）
• 大小比較は 比べやすい形にそろえる（(7)＝ウ，ア，イ）

大問 1 は練習した分だけ確実に得点できる分野です。基本手順をくり返し身につけて、入試の土台を固めましょう。

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