2026-07-05約16分数学高校受験

香川県公立高校入試2023 問題3｜反比例・確率・箱ひげ図・放物線

香川県公立高校入試2023年度の数学問題3を解説。反比例、2つのくじの確率（少なくとも1本当たり）、箱ひげ図の読み取り、放物線y=x²と線分の比まで、4つの小問を図と手順つきで丁寧に解説します。高松市の学習塾クローネ学園が高校受験の数学を支えます。

この問題について

香川県公立高校入試 2023 年度の問題 3 は，分野のちがう 4 つの小問を集めた小問集合です。反比例，2 つのくじを使った確率，箱ひげ図の読み取り，そして放物線と線分の比と，中学数学の主要分野が幅広く顔を出します。

一つひとつは標準的なレベルですが，分野がバラバラなので「どの考え方を使う問題か」をすばやく見分ける力が問われます。この記事では次のことを解説します。

反比例の式の求め方
「少なくとも1本当たり」の確率
箱ひげ図の読み取り
放物線 $y=x^2$ と線分の長さの比

香川県公立高校入試（2023）問題 3

次の(1)〜(4)の問いに答えなさい。
（1） $y$ は $x$ に反比例し， $x=2$ のとき $y=5$ である。 $x=3$ のときの $y$ の値を求めよ。
（2）2 つのくじ A，B がある。くじ A には，5 本のうち，2 本の当たりが入っている。くじ B には，4 本のうち，3 本の当たりが入っている。くじ A，B からそれぞれ 1 本ずつくじを引くとき，引いた 2 本のくじのうち，少なくとも 1 本は当たりである確率を求めよ。
（3）右の図は，A 駅，B 駅，C 駅それぞれの駐輪場にとまっている自転車の台数を，6 月の 30 日間，毎朝 8 時に調べ，そのデータを箱ひげ図に表したものである。次の㋐〜㋓のうち，この箱ひげ図から読みとれることとして，必ず正しいといえることはどれか。2 つ選んで，その記号を書け。
㋐　A 駅について，自転車の台数が 200 台以上であった日数は 15 日以上である
㋑　A 駅と B 駅について，自転車の台数が 150 台未満であった日数を比べると，B 駅の方が多い
㋒　B 駅と C 駅について，自転車の台数の四分位範囲を比べると，C 駅の方が大きい
㋓　A 駅，B 駅，C 駅について，自転車の台数の最大値を比べると，C 駅がもっとも大きい
（4）右の図で，点 O は原点であり，放物線 ① は関数 $y=x^2$ のグラフである。 2 点 A，B は放物線 ① 上の点で，点 A の $x$ 座標は $-2$ であり，線分 AB は $x$ 軸に平行である。点 C は放物線 ① 上の点で，その $x$ 座標は負の数である。点 C を通り， $x$ 軸に平行な直線をひき，直線 OB との交点を D とする。これについて，次のア，イの問いに答えよ。
ア　関数 $y=x^2$ で， $x$ の変域が $\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき， $y$ の変域を求めよ。
イ　 $\text{AB} : \text{CD} = 8 : 5$ であるとき，点 C の $x$ 座標はいくらか。点 C の $x$ 座標を $a$ として， $a$ の値を求めよ。

難易度: ★★☆☆☆　分野: 小問集合（反比例・確率・資料の活用・関数） 目安時間: 10分

問題 3 （1）

$y$ は $x$ に反比例し， $x=2$ のとき $y=5$ である。 $x=3$ のときの $y$ の値を求めよ。

答え・解説を見る

反比例は $\displaystyle y = \frac{a}{x}$ と表せます。 $x=2$ のとき $y=5$ を代入して $a$ を求めます。

5 = \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad a = 10

式は $\displaystyle y = \frac{10}{x}$ です。 $x=3$ を代入します。

y = \frac{10}{3}

（答） $\displaystyle y = \frac{10}{3}$

KRONE ポイント

反比例では， $x$ と $y$ をかけた $xy$ がいつも同じ値（比例定数 $a$ ）になります。 $2 \times 5 = 10$ とわかれば， $3 \times y = 10$ から一気に $\displaystyle y = \frac{10}{3}$ と求めることもできます。

問題 3 （2）

2 つのくじ A，B がある。くじ A には，5 本のうち，2 本の当たりが入っている。くじ B には，4 本のうち，3 本の当たりが入っている。くじ A，B からそれぞれ 1 本ずつくじを引くとき，引いた 2 本のくじのうち，少なくとも 1 本は当たりである確率を求めよ。

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「少なくとも 1 本は当たり」を正面から数えると，当たりが 1 本の場合と 2 本の場合に分かれて手間がかかります。そこで反対を考えます。「少なくとも 1 本は当たり」の反対は「2 本ともはずれ」です。

くじ A がはずれる確率は，5 本のうちはずれが 3 本なので $\displaystyle \frac{3}{5}$ 。くじ B がはずれる確率は，4 本のうちはずれが 1 本なので $\displaystyle \frac{1}{4}$ 。 A と B は別々に引くので，2 本ともはずれる確率はかけ算です。

\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}

求める確率は，全体の 1 からこれを引きます。

1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}

（答） $\displaystyle \frac{17}{20}$

KRONE ポイント

「少なくとも」ときたら，まず反対の場合（余事象）を疑いましょう。求める確率は $1 -$ （反対の確率）で出せることが多く，数える場合の数がぐっと減ります。

問題 3 （3）

右の図は，A 駅，B 駅，C 駅それぞれの駐輪場にとまっている自転車の台数を，6 月の 30 日間，毎朝 8 時に調べ，そのデータを箱ひげ図に表したものである。次の㋐〜㋓のうち，この箱ひげ図から読みとれることとして，必ず正しいといえることはどれか。2 つ選んで，その記号を書け。
㋐　A 駅について，自転車の台数が 200 台以上であった日数は 15 日以上である
㋑　A 駅と B 駅について，自転車の台数が 150 台未満であった日数を比べると，B 駅の方が多い
㋒　B 駅と C 駅について，自転車の台数の四分位範囲を比べると，C 駅の方が大きい
㋓　A 駅，B 駅，C 駅について，自転車の台数の最大値を比べると，C 駅がもっとも大きい

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30 日ぶんのデータなので，箱ひげ図の区切りが何日目にあたるかを先におさえます。四分位数は全体を 4 等分する境目なので， $30 \div 4 = 7.5$ 日ずつに区切られます。

中央値（第 2 四分位数）は，小さいほうから 15 日目と 16 日目のあいだ
中央値より大きい側（上半分）が 15 日ぶん
中央値より小さい側（下半分）が 15 日ぶん

これを頭に置いて，1 つずつ確かめます。

㋐　A 駅の中央値は，箱の中の線を見ると 200 台より上にあります。中央値がだいたい 208 台なので，中央値より大きい上半分の 15 日は，すべて 200 台以上です。つまり 200 台以上の日は少なくとも 15 日ある。必ず正しい。

㋑　A 駅も B 駅も，第 1 四分位数（箱の下の辺）はちょうど 150 台に見えます。第 1 四分位数が 150 台とわかっても，150 台未満が何日あったかは，箱ひげ図からは読みとれません。なぜなら，150 台ちょうどの日が何日あるかがわからないからです。

たとえば，下位 15 日ぶんの台数を小さい順にならべたとき，次の 2 つの例を比べてみます。どちらも第 1 四分位数（下から 8 番目）は 150 台で，箱ひげ図の見た目はまったく同じです。

\begin{array}{l} \text{例 1} \ : \ 150,\ 150,\ 150,\ 150,\ 150,\ 150,\ 150,\ \underline{150},\ \cdots \\[.4em] \text{例 2} \ : \ 149,\ 149,\ 149,\ 149,\ 149,\ 149,\ 149,\ \underline{150},\ \cdots \end{array}

例 1 は 150 台未満が 0 日，例 2 は 150 台未満が 7 日。同じ第 1 四分位数 150 台でも，150 台未満の日数は 0 日にも 7 日にもなり，箱ひげ図だけでは決まりません。だから A 駅と B 駅の 150 台未満の日数は比べられず，必ず正しいとはいえない。

㋒　四分位範囲は，第 3 四分位数から第 1 四分位数を引いた値で，これは箱の縦の長さそのものです。目盛りの正確な値を読まなくても，箱の長さを見比べれば大小がわかります。図で B 駅と C 駅の箱を比べると，C 駅の箱のほうが縦に長いので，四分位範囲は C 駅のほうが大きい。必ず正しい。

㋓　最大値はひげの上の先です。ひげの先の高さを比べると，B 駅がもっとも高い位置まで伸びていて，C 駅より上にあります。最大値がもっとも大きいのは B 駅であって C 駅ではないので，誤り。

以上より，必ず正しいといえるのは ㋐と㋒ です。

（答）㋐，㋒

KRONE ポイント

箱ひげ図で「◯◯未満の日数」を聞かれたら要注意です。境目の値ちょうどのデータが何個あるかは読みとれないので，「未満」「以下」を問う選択肢は断定できないことが多いと覚えておきましょう。

問題 3 （4）

右の図で，点 O は原点であり，放物線 ① は関数 $y=x^2$ のグラフである。 2 点 A，B は放物線 ① 上の点で，点 A の $x$ 座標は $-2$ であり，線分 AB は $x$ 軸に平行である。点 C は放物線 ① 上の点で，その $x$ 座標は負の数である。点 C を通り， $x$ 軸に平行な直線をひき，直線 OB との交点を D とする。これについて，次のア，イの問いに答えよ。
ア　関数 $y=x^2$ で， $x$ の変域が $\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき， $y$ の変域を求めよ。
イ　 $\text{AB} : \text{CD} = 8 : 5$ であるとき，点 C の $x$ 座標はいくらか。点 C の $x$ 座標を $a$ として， $a$ の値を求めよ。

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ア　 $y=x^2$ は下に凸の放物線で， $x=0$ で最小になります。変域 $\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x \leqq 1$ には $x=0$ がふくまれるので， $y$ の最小値は $0$ です。

最大値は， $x=0$ から遠いほうの端で決まります。

x = -\frac{3}{2} \ \text{のとき} \ \ y = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \qquad x = 1 \ \text{のとき} \ \ y = 1^2 = 1

大きいのは $\displaystyle \frac{9}{4}$ なので， $y$ の最大値は $\displaystyle \frac{9}{4}$ です。

（答） $\displaystyle 0 \leqq y \leqq \frac{9}{4}$

イ　まず A，B の座標を求めます。 A の $x$ 座標は $-2$ なので， $y = (-2)^2 = 4$ 。よって A $(-2,\ 4)$ 。 AB は $x$ 軸に平行で，放物線は $y$ 軸について左右対称なので，B は A と反対側の B $(2,\ 4)$ 。

\text{AB} = 2 - (-2) = 4

$\text{AB} : \text{CD} = 8 : 5$ なので，CD の長さを求めます。

\text{CD} = 4 \times \frac{5}{8} = \frac{5}{2}

次に C と D を $a$ で表します。 C は放物線 ① 上で $x$ 座標が $a$ なので C $(a,\ a^2)$ 。 D は C を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 OB の交点です。直線 OB は O $(0,0)$ と B $(2,4)$ を通るので $y=2x$ 。 D の $y$ 座標は C と同じ $a^2$ だから， $a^2 = 2x$ より D の $x$ 座標は $\displaystyle \frac{a^2}{2}$ 。

CD は $x$ 軸に平行なので，長さは右の点の $x$ 座標から左の点の $x$ 座標を引きます。図から D は C より右にあるので，

\text{CD} = \frac{a^2}{2} - a

これが $\displaystyle \frac{5}{2}$ に等しいので，方程式を立てます。

\begin{aligned} \frac{a^2}{2} - a &= \frac{5}{2} \\[.6em] a^2 - 2a &= 5 \\[.6em] a^2 - 2a - 5 &= 0 \\[.6em] a &= 1 \pm \sqrt{6} \end{aligned}

$a$ は負の数なので $a = 1 - \sqrt{6}$ 。

（答） $a = 1 - \sqrt{6}$

KRONE ポイント

$x$ 軸に平行な線分の長さは，右の点の $x$ 座標 $-$ 左の点の $x$ 座標で表せます。放物線上の点・直線上の点を，それぞれ同じ文字 $a$ の式で書いてから引き算するのが，長さを方程式にする第一歩です。

この問題から学ぶこと

小問集合で得点を伸ばすコツは，難しい 1 問に時間をかけることではなく，分野ごとの基本の手順を確実に身につけておく ことです。この問題の 4 問は，反比例・確率・資料の活用・関数という，入試で必ず問われる分野の代表例になっています。

特に大切なのは，問題を見た瞬間に「これは反対を数える問題」「これは箱の長さを見る問題」と道具を選べることです。手が止まる多くの原因は，計算力ではなく「どの考え方を使うかが決まらない」ことにあります。一問ごとに「いま何の道具を使ったか」を意識して解き直すと，初めて見る問題でも落ち着いて方針を立てられるようになります。

クローネ学園での指導

クローネ学園では，こうした小問集合を「たくさん解いて慣れる」だけで終わらせず，一問ごとに使った考え方に名前をつけて整理する ところまで指導します。確率なら「反対を数える」，箱ひげ図なら「未満は断定しない」というように，注意点を言葉で言えるようにしておくと，本番で迷わず引き出せるようになります。

得点力を育てる指導のポイント: 答え合わせのときに「なぜその解き方を選んだのか」を説明してもらいます。解法を選ぶ理由まで言葉にできると，似た問題はもちろん，少しひねった問題にも対応できる力が身につきます。

小問集合の解き方（まとめ）

小問集合は，問題ごとに使う道具をすばやく見分けることが得点のカギ
反比例は $xy$ が一定。 $x$ と $y$ をかけて比例定数を先につかむ
「少なくとも」は反対（余事象）を数え， $1 -$ （反対の確率）で求める
箱ひげ図の四分位範囲は箱の縦の長さ。「未満」「以下」の日数は断定できないことが多い
放物線の線分の長さは，右の点と左の点の $x$ 座標の差で式にする

クローネ学園では、高校受験を目指す中学生の数学・英語の指導を行っています。 高松市で中学生向けの学習塾をお探しの方は高松市の中学生向け学習塾もあわせてご覧ください。無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。

FAQ

よくある質問

「少なくとも1本は当たり」の確率はどう求めますか？

「少なくとも1本当たり」の反対は「2本ともはずれ」です。全体の確率1から、2本ともはずれる確率を引くのが最短です。この問題ではくじAがはずれる確率が5分の3、くじBがはずれる確率が4分の1なので、2本ともはずれる確率はかけ算で20分の3。よって求める確率は1から20分の3を引いて20分の17となります。「少なくとも」ときたら反対（余事象）を疑うのがコツです。

箱ひげ図で四分位範囲とは何ですか？どう比べますか？

四分位範囲は、第3四分位数から第1四分位数を引いた値で、箱の縦の長さそのものです。データの中央に集まった半分がどれくらいの幅に散らばっているかを表します。2つの箱ひげ図を比べるときは、箱の長さ（縦の長さ）を見比べればよく、長いほうが四分位範囲が大きいと判断できます。

放物線上の点で、線分の長さの比はどうやって式にしますか？

座標を文字で表して、長さを座標の差で書くのが基本です。x軸に平行な線分の長さは、右の点のx座標から左の点のx座標を引けば求められます。この問題では点Cが放物線上、点Dが直線OB上にあるので、それぞれのx座標をaを使って表し、CDの長さをaの式で書いてから比の式に当てはめて方程式を解きます。

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