香川県公立高校入試2023 数学 問題 1｜小問集合の解き方

この問題について

香川県公立高校入試2023年度の数学問題1は，計算や式の計算，平方根，因数分解，2次方程式，倍数の判定を問う小問集合です。1問ずつは標準的な内容ですが，配点が大きく，ここを確実に取れるかどうかが入試全体の得点を大きく左右します。

特別なひらめきは必要ありません。求められるのは，基本のルールを正確に・速く使いこなす力です。この記事では7つの小問を一つずつ取り上げ，解き方の手順とミスを防ぐポイントを確認していきます。

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香川県公立高校入試（2023）問題 1

次の(1)〜(7)の問いに答えなさい。

• （1）$3 + 8 \div (-4)$ を計算せよ。
• （2）$\displaystyle 6 \times \frac{5}{3} - 5^2$ を計算せよ。
• （3）$\displaystyle \frac{x+2y}{2} + \frac{4x-y}{6}$ を計算せよ。
• （4）$\sqrt{8} - \sqrt{3}\,(\sqrt{6} - \sqrt{27})$ を計算せよ。
• （5）$(x+1)(x-3)+4$ を因数分解せよ。
• （6）$x$ についての 2 次方程式 $-x^2 + ax + 21 = 0$ の解の 1 つが 3 のとき，$a$ の値を求めよ。
• （7）次のア〜エの数のうち，12 の倍数であるものはどれか。正しいものを 1 つ選んで，その記号を書け。
• • ア $2 \times 3^4$　　イ $2 \times 3^2 \times 7$　　ウ $2^2 \times 3^2 \times 5$　　エ $2^3 \times 5 \times 7$

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 小問集合（計算・平方根・因数分解・2次方程式） 目安時間: 10分

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問題 1 （1）

$3 + 8 \div (-4)$ を計算せよ。

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除法（$\div$）は，両隣の数字とくっついてグループを作ります。 先に $8 \div (-4)$ を計算してから，3 をたします。

$$\begin{aligned} 3 + 8 \div (-4) &= 3 + (-2) \\ &= 1 \end{aligned}$$

（答）$1$

KRONE ポイント

$8 \div (-4)$ は，数字どうしがくっついて 1 つのグループになっています。$3$ はこのグループの外にあるので，先にグループの中（$8 \div (-4) = -2$）を計算してから $3$ をたします。$3+8$ を先に計算してしまうミスが多いので気をつけましょう。

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問題 1 （2）

$\displaystyle 6 \times \frac{5}{3} - 5^2$ を計算せよ。

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$\displaystyle 6 \times \frac{5}{3}$ はかけ算でくっついた 1 つのグループ，$5^2$ は累乗のかたまりです。あいだの $-$ でつながれているので，先にそれぞれのグループを計算してからひきます。 $5^2 = 25$ で，マイナスがついたまま最後にひきます。

$$\begin{aligned} 6 \times \frac{5}{3} - 5^2 &= 10 - 25 \\ &= -15 \end{aligned}$$

（答）$-15$

KRONE ポイント

$-5^2$ は $-25$ です。$(-5)^2 = 25$ とは別物なので混同に注意しましょう。ここでは $5^2$ にもとからマイナスがついているだけなので，$-25$ として計算します。

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問題 1 （3）

$\displaystyle \frac{x+2y}{2} + \frac{4x-y}{6}$ を計算せよ。

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分母を 2 と 6 の最小公倍数 6 にそろえます。 左の分数は分母・分子を 3 倍します。

$$\begin{aligned} \frac{x+2y}{2} + \frac{4x-y}{6} &= \frac{3(x+2y)}{6} + \frac{4x-y}{6} \\[.6em] &= \frac{3x+6y+4x-y}{6} \\[.6em] &= \frac{7x+5y}{6} \end{aligned}$$

（答）$\displaystyle \frac{7x+5y}{6}$

KRONE ポイント

通分するときは，分子全体にかっこをつけて $3(x+2y)$ とするのが安全です。かっこを外し忘れると $3x+2y$ のように一部だけ 3 倍してしまうミスにつながります。

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問題 1 （4）

$\sqrt{8} - \sqrt{3}\,(\sqrt{6} - \sqrt{27})$ を計算せよ。

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まずかっこの中に $\sqrt{3}$ を分配します。 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9$ です。

$$\begin{aligned} \sqrt{8} - \sqrt{3}\,(\sqrt{6} - \sqrt{27}) &= 2\sqrt{2} - (\sqrt{18} - \sqrt{81}) \\[.4em] &= 2\sqrt{2} - (3\sqrt{2} - 9) \\[.4em] &= 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 9 \\[.4em] &= 9 - \sqrt{2} \end{aligned}$$

（答）$9 - \sqrt{2}$

KRONE ポイント

$\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9$ のように，$\sqrt{\phantom{0}}$ どうしのかけ算は中の数どうしをかけて，きれいな整数になることがあります。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ と，$\sqrt{\phantom{0}}$ の中は必ず素因数分解して外に出しましょう。

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問題 1 （5）

$(x+1)(x-3)+4$ を因数分解せよ。

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いきなり因数分解の形を探すのではなく，まず展開して整理します。

$$\begin{aligned} (x+1)(x-3)+4 &= x^2 - 2x - 3 + 4 \\ &= x^2 - 2x + 1 \end{aligned}$$

$x^2 - 2x + 1$ は，$(x-1)^2$ の形（$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$）です。

$$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$$

（答）$(x-1)^2$

KRONE ポイント

「因数分解せよ」でも，かっこがついた式はいったん展開して整理するのが近道のことがあります。整理した $x^2 - 2x + 1$ を見て「$1$ は $1^2$，真ん中は $2 \times 1$」と気づければ，$(x-1)^2$ にたどりつけます。

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問題 1 （6）

$x$ についての 2 次方程式 $-x^2 + ax + 21 = 0$ の解の 1 つが 3 のとき，$a$ の値を求めよ。

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「解の 1 つが 3」とは，$x=3$ を代入すると式が成り立つということです。 $x=3$ を代入して，$a$ についての方程式にします。

$$\begin{aligned} -(3)^2 + a \times 3 + 21 &= 0 \\ -9 + 3a + 21 &= 0 \\ 3a + 12 &= 0 \\ 3a &= -12 \\ a &= -4 \end{aligned}$$

（答）$a = -4$

KRONE ポイント

「解が○○」ときたら，その値を $x$ に代入するのが定石です。$-(3)^2$ は $-9$。ここを $(-3)^2 = 9$ としないよう，$3$ を代入したら符号のついた形のまま計算しましょう。

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問題 1 （7）

次のア〜エの数のうち，12 の倍数であるものはどれか。正しいものを 1 つ選んで，その記号を書け。
ア $2 \times 3^4$　　イ $2 \times 3^2 \times 7$　　ウ $2^2 \times 3^2 \times 5$　　エ $2^3 \times 5 \times 7$

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12 を素因数分解すると $12 = 2^2 \times 3$ です。 つまり 12 の倍数であるためには，2 を 2 個以上，3 を 1 個以上ふくんでいる必要があります。 実際に計算しなくても，指数を見比べれば判定できます。

$$\begin{array}{ll} \text{ア}\ \ 2 \times 3^4 & \cdots\ 2 \text{が} 1 \text{個で不足　✕} \\[.3em] \text{イ}\ \ 2 \times 3^2 \times 7 & \cdots\ 2 \text{が} 1 \text{個で不足　✕} \\[.3em] \text{ウ}\ \ 2^2 \times 3^2 \times 5 & \cdots\ 2^2 \text{も} 3 \text{もある　◯} \\[.3em] \text{エ}\ \ 2^3 \times 5 \times 7 & \cdots\ 3 \text{がなく不足　✕} \end{array}$$

$2^2 \times 3$ をふくむのはウだけです。

（答）ウ

KRONE ポイント

倍数の判定は，割る数を素因数分解して指数を見比べるのが速くて確実です。$12 = 2^2 \times 3$ なので，「$2$ が $2$ 個・$3$ が $1$ 個」そろっているかだけを確認します。ウは $2^2 \times 3^2 \times 5$ で条件を満たします。

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この問題から学ぶこと

問題 1 の小問集合は，難しいひらめきではなく，基本のルールを正確に速く使う力を試しています。計算の順序，$\sqrt{\phantom{0}}$ の中の素因数分解，因数分解の公式，代入，倍数の判定と，どれも中学数学の土台です。

差がつくのは，一つひとつの手順を「なんとなく」ではなく「なぜそうするか」まで分かって進められるかどうかです。$-5^2$ と $(-5)^2$ の違い，通分でかっこをつける理由，倍数を指数で見比べる理由——理由まで押さえておくと，少し形を変えられても迷わず対応できます。まずはこの問題 1 を，落ち着いて満点近くで取り切ることを目標にしましょう。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，こうした基本問題を「答えが合ったからよし」で終わらせず，なぜその手順を使うのかを言葉で説明できる ところまで指導します。計算の一つひとつに理由をつけて理解しておくと，見た目が変わった問題でも同じ土台で対応できるようになります。

得点力を育てる指導のポイント: 小問集合はスピードと正確さの両立が大切です。ミスをしたときに「どの手順で・なぜ間違えたか」を毎回ふり返ると，同じミスが減り，本番で安定して満点近くを取れるようになります。

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小問集合の解き方（まとめ）

• $\times$・$\div$ は両隣の数字とくっついてグループを作る。先にグループの中を計算する
• $-5^2$ と $(-5)^2$ は別物。符号のついた形のまま計算する
• 通分は分子全体にかっこをつけて，かけ忘れ・外し忘れを防ぐ
• $\sqrt{\phantom{0}}$ の中は必ず素因数分解して外に出す（$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ など）
• 「解が○○」は代入，倍数の判定は割る数を素因数分解して指数を見比べる

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