香川県公立高校入試2023 問題4｜カード交換・連立方程式の文章題

この問題について

香川県公立高校入試 2023 年度の問題 4 は，(1) カードと袋を使った操作の規則性と，(2) バザーの売上を題材にした連立方程式の文章題の 2 問構成です。どちらも会話文や長い説明文を読み，条件を式に翻訳する力が問われます。

計算そのものは難しくありませんが，「何に注目すれば見通しよく解けるか」を見抜けるかで差がつきます。この記事では次のことを解説します。

• カードと袋の操作で，合計に注目して X を求める
• 条件を整理して，操作①で書いた 5 つの自然数を特定する
• 長い文章題を一文ずつ式に翻訳し，連立方程式で解く

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香川県公立高校入試（2023）問題 4

問題 4 は「次の(1)，(2)の問いに答えなさい」という形で，独立した 2 つの問題が並びます。(1) はカードを交換していく操作の規則性，(2) はバザーの売上を題材にした連立方程式の文章題です。どちらも問題文が長いので，(1)・(2) それぞれの問題文とその解説を，続けて読める形で下にまとめます。

難易度: ★★★☆☆　 分野: カード交換・文字式・連立方程式の文章題 目安時間: 8分

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問題 4 （1）カード交換

次の会話文を読んで，あとのア，イの問いに答えよ。

先生：ここに何も書かれていないカードがたくさんあります。このカードと何も入っていない袋を使って，次の操作①から操作⑤を順におこなってみましょう。

操作

• 操作①　5 枚のカードに自然数を 1 つずつ書き，その 5 枚のカードをすべて袋に入れる。
• 操作②　袋の中から同時に 2 枚のカードを取り出す。その 2 枚のカードに書いてある数の和を $a$ とし，新しい 1 枚のカードに $a$ の値を書いて袋に入れる。取り出した 2 枚のカードは袋に戻さない。
• 操作③　袋の中から同時に 2 枚のカードを取り出す。その 2 枚のカードに書いてある数の和を $b$ とし，新しい 1 枚のカードに $b+1$ の値を書いて袋に入れる。取り出した 2 枚のカードは袋に戻さない。
• 操作④　袋の中から同時に 2 枚のカードを取り出す。その 2 枚のカードに書いてある数の和を $c$ とし，新しい 1 枚のカードに $c+2$ の値を書いて袋に入れる。取り出した 2 枚のカードは袋に戻さない。
• 操作⑤　袋の中から同時に 2 枚のカードを取り出す。その 2 枚のカードに書いてある数の和を $X$ とする。

花子：私は操作①で 5 枚のカード 1，2，3，5，7 を袋に入れます。次に操作②をします。袋の中から 3 と 5 を取り出したので，8 を袋に入れます。操作②を終えて，袋の中のカードは 1，2，7，8 の 4 枚になりました。

太郎：私も操作①で 5 枚のカード 1，2，3，5，7 を袋に入れました。操作②を終えて，袋の中のカードは 3，3，5，7 の 4 枚になりました。次に操作③をします。袋の中から 3 と 3 を取り出したので，7 を袋に入れます。操作③を終えて，袋の中のカードは 5，7，7 の 3 枚になりました。

花子：操作⑤を終えると，私も太郎さんも X ＝ P になりました。

先生：2 人とも正しく X の値が求められましたね。

• ア　会話文中の P にあてはまる数を求めよ。
• イ　次郎さんも，花子さんや太郎さんのように，操作①から操作⑤を順におこなってみることにした。そこで，操作①で異なる 5 つの自然数を書いた 5 枚のカードを袋に入れた。操作②で取り出した 2 枚のカードの一方に書いてある数は 3 であった。操作③で取り出した 2 枚のカードの一方に書いてある数は 1 であり，操作③を終えたとき，袋の中にある 3 枚のカードに書いてある数はすべて同じ数であった。操作⑤を終えると X ＝ 62 になった。このとき，次郎さんが操作①で書いた 5 つの自然数を求めよ。

問題 4 （1）ア

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「どの 2 枚を取り出したか」を追う必要はありません。袋の中のカードの合計がどう変わるかだけを見ます。

• 操作②　和 $a$ をそのまま入れる → 合計は変わらない
• 操作③　$b+1$ を入れる → 合計は 1 増える
• 操作④　$c+2$ を入れる → 合計は 2 増える
• 操作⑤　残った 2 枚の和が $X$ → そのときの袋の合計がそのまま $X$

操作①の合計は $1+2+3+5+7 = 18$ です。 ここから操作②で変わらず，操作③で $+1$，操作④で $+2$ されるので，操作⑤の直前の合計は

$$18 + 1 + 2 = 21$$

操作⑤ではこの 2 枚の和が $X$ なので，$X = 21$。

念のため花子さんの流れでも確かめます。操作②を終えた袋は 1，2，7，8 で合計 18。操作③で $+1$，操作④で $+2$ をして $18+1+2=21$。同じく $X=21$ になります。

（答）$P = 21$

KRONE ポイント

操作のたびに全部のカードを書き出すと大変です。変化するのは合計だけに注目すると，$+0，+1，+2$ を足すだけで $X$ が決まります。「何が変わって何が変わらないか」を見抜くのが規則性の問題の急所です。

問題 4 （1）イ

次郎さんは操作①で異なる 5 つの自然数を書いた。操作②で取り出した一方は 3，操作③で取り出した一方は 1 であり，操作③を終えたとき袋の中の 3 枚はすべて同じ数だった。操作⑤を終えると X ＝ 62 になった。操作①で書いた 5 つの自然数を求めよ。

答え・解説を見る

アで見つけた「合計だけ追う」考え方を，逆向きに使います。

まず操作①の合計を $S$ とすると，操作⑤直前の合計は $S+0+1+2 = S+3$ で，これが $X$ です。

$$S + 3 = 62 \quad \Rightarrow \quad S = 59$$

操作①の 5 つの自然数の合計は 59 とわかりました。

次に「操作③を終えたとき，袋の 3 枚がすべて同じ数」という条件を使います。 操作③を終えた時点の合計は $S + 1 = 60$ で，これが同じ数 3 枚ぶんなので，$60 \div 3 = 20$。 つまり操作③後の袋は 20，20，20 です。

操作③をさかのぼります。操作③は 2 枚（一方は 1）を取り出し，和 $b$ に 1 を足したカードを入れる操作です。 操作③後の 3 枚のうち 1 枚が新しく入れたカードで，その値は 20。だから $b+1 = 20$ より $b = 19$。 取り出した一方が 1 なので，もう一方は $19 - 1 = 18$。 残りの 2 枚は 20，20 のままだったので，操作③の直前（＝操作②後）の袋は 1，18，20，20 です。

さらに操作②をさかのぼります。操作②は 2 枚（一方は 3）を取り出し，和 $a$ のカードを入れる操作です。 操作②後の 4 枚 1，18，20，20 のうち 1 枚が新しく入れた $a$ です。 $a$ は 3 ともう一方の数 $z$ の和なので $a = 3 + z$，つまり $a$ は 3 より大きい。 1，18，20 のうち $a$ にできるのは，$z = a - 3$ が自然数（1 以上）になるものを調べます。

$$a = 20 \ \text{のとき} \quad z = 20 - 3 = 17$$

このとき操作①の 5 枚は，取り出した 3 と $z=17$，そして操作②で使わずに残った 1，18，20 を合わせて

$$1，3，17，18，20$$

合計は $1+3+17+18+20 = 59$ で条件に合い，5 つとも異なる自然数です。 （$a=1$ や $a=18$ の場合は $z$ が負になったり，5 つが異なる自然数にならず，条件を満たしません。）

最後に，この 5 数で操作をたどって $X=62$ になるか確かめます。

$$\begin{array}{l} \text{①}\ 1，3，17，18，20 \\ \text{②}\ 3+17=20 \ \rightarrow\ 1，18，20，20 \\ \text{③}\ 1+18=19，\ 19+1=20 \ \rightarrow\ 20，20，20 \\ \text{④}\ 20+20=40，\ 40+2=42 \ \rightarrow\ 20，42 \\ \text{⑤}\ X = 20 + 42 = 62 \end{array}$$

たしかに $X=62$ になりました。

（答）1，3，17，18，20

KRONE ポイント

規則性の問題は，わかっている結果（X＝62）から逆向きにたどると一気に解けることがあります。合計を使って操作③後を 20，20，20 と確定できたのが突破口です。前から総当たりする前に，「決め手になる条件はどれか」をさがしましょう。

問題 4 （2）バザーの売上

2 日間おこなわれたバザーで，太郎さんのクラスは，ペットボトル飲料，アイスクリーム，ドーナツの 3 種類の商品を仕入れて販売した。バザーは，1 日目，2 日目とも 9 時から 15 時まで実施された。

1 日目の 8 時に，太郎さんのクラスへ，1 日目と 2 日目で販売するペットボトル飲料とアイスクリームのすべてが届けられた。このとき，1 日目に販売するドーナツも届けられた。また，2 日目の 8 時に，2 日目に販売するドーナツが届けられ，その個数は，1 日目の 8 時に届けられたドーナツの個数の 3 倍であった。

ペットボトル飲料は，1 日目と 2 日目で合計 280 本売れ，1 日目に売れたペットボトル飲料の本数は，2 日目に売れたペットボトル飲料の本数よりも 130 本少なかった。

1 日目において，1 日目の 8 時に届けられたドーナツはすべて売れた。1 日目に売れたアイスクリームの個数は，1 日目の 8 時に届けられたアイスクリームの個数の 30 ％ で，1 日目に売れたドーナツの個数よりも 34 個多かった。

2 日目は，アイスクリーム 1 個とドーナツ 1 個をセットにして販売することにした。1 日目が終了した時点で残っていたアイスクリームの個数が，2 日目の 8 時に届けられたドーナツの個数よりも多かったので，ドーナツはすべてセットにできたが，いくつかのアイスクリームはセットにできなかった。セットにできなかったアイスクリームは 1 個ずつで販売され，セットにしたアイスクリームとは別に 4 個が売れた。2 日目が終了した時点で，アイスクリームは 5 個，ドーナツは 3 個残っていた。

これについて，次のア〜ウの問いに答えよ。

• ア　1 日目に売れたペットボトル飲料の本数は何本か。
• イ　下線部について，1 日目に届けられたアイスクリームの個数を $x$ 個，1 日目に届けられたドーナツの個数を $y$ 個として，$y$ を $x$ を使った式で表せ。
• ウ　1 日目に届けられたアイスクリームの個数を $x$ 個，1 日目に届けられたドーナツの個数を $y$ 個として，$x$，$y$ の値を求めよ。$x$，$y$ の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

問題 4 （2）ア

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ペットボトル飲料は，2 日間の合計が 280 本で，1 日目は 2 日目より 130 本少ない，という条件です。 2 日目に売れた本数を求めてから 130 を引きます。

2 日目に売れた本数を $p$ 本とすると，1 日目は $p - 130$ 本。合計が 280 本なので

$$(p - 130) + p = 280$$$$2p = 410 \quad \Rightarrow \quad p = 205$$

1 日目に売れた本数は $205 - 130 = 75$ 本です。

（答）75 本

問題 4 （2）イ

下線部について，1 日目に届けられたアイスクリームの個数を $x$ 個，1 日目に届けられたドーナツの個数を $y$ 個として，$y$ を $x$ を使った式で表せ。

答え・解説を見る

下線部は「1 日目に売れたアイスは，届いたアイスの 30 ％ で，売れたドーナツより 34 多い」です。一文を 2 つの部分に分けて式にします。

• 1 日目に売れたアイス＝届いたアイスの 30 ％ → $\displaystyle \frac{3}{10}x$ 個
• 1 日目の 8 時に届いたドーナツはすべて売れたので，売れたドーナツ＝ $y$ 個

「売れたアイスは売れたドーナツより 34 多い」ので

$$\frac{3}{10}x = y + 34$$

$y$ について解きます。

$$y = \frac{3}{10}x - 34$$

（答）$\displaystyle y = \frac{3}{10}x - 34$

KRONE ポイント

「A は B の 30 ％」は $\displaystyle A = \frac{3}{10}B$，「A は B より 34 多い」は $A = B + 34$。長い文章題は，日本語を一文ずつ小さな等式に翻訳していくのが確実です。

問題 4 （2）ウ

1 日目に届けられたアイスクリームの個数を $x$ 個，1 日目に届けられたドーナツの個数を $y$ 個として，$x$，$y$ の値を求めよ。求める過程も式と計算を含めて書け。

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イで 1 本目の式ができました。もう 1 本を，2 日目のアイスの動きから作ります。

$$y = \frac{3}{10}x - 34 \quad \cdots ①$$

まず 2 日目に売れたアイスの個数を $x$，$y$ で表します。 アイスは全部で $x$ 個届き，1 日目に $\displaystyle \frac{3}{10}x$ 個売れ，2 日目終了時に 5 個残ったので，2 日目に売れたアイスは

$$x - \frac{3}{10}x - 5 = \frac{7}{10}x - 5 \ \text{(個)}$$

この中に，セットにできず 1 個ずつ売れたアイス 4 個がふくまれます。だから 2 日目にセットにして売れたアイスは

$$\left( \frac{7}{10}x - 5 \right) - 4 = \frac{7}{10}x - 9 \ \text{(個)}$$

次に 2 日目に売れたドーナツを表します。 2 日目に届いたドーナツは 1 日目の 3 倍で $3y$ 個。2 日目終了時に 3 個残ったので，2 日目に売れたドーナツは $3y - 3$ 個です。

ドーナツはすべてセットにできたので，セットにして売れたアイスの個数＝2 日目に売れたドーナツの個数。

$$\frac{7}{10}x - 9 = 3y - 3$$

整理して

$$y = \frac{7}{30}x - 2 \quad \cdots ②$$

① と ② を連立して解きます。

$$\begin{aligned} \frac{3}{10}x - 34 &= \frac{7}{30}x - 2 \\[.6em] 9x - 1020 &= 7x - 60 \\[.6em] 2x &= 960 \\[.6em] x &= 480 \end{aligned}$$

① に代入して

$$y = \frac{3}{10} \times 480 - 34 = 144 - 34 = 110$$

（答）$x = 480$，$y = 110$

KRONE ポイント

文章題は，求めるものだけを $x$，$y$ に置き，ほかの量（売れた個数・2 日目の個数）はすべて $x$，$y$ の式で表すのがコツです。文字を増やさないほど式がすっきりし，ミスが減ります。

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この問題から学ぶこと

問題 4 の 2 問は，どちらも「長い説明を読んで，条件を式に翻訳する」力を試しています。(1) では変化する量（合計）だけに注目して操作を追い，(2) では日本語を一文ずつ等式に直して連立方程式を立てました。

共通するのは，全部をいちどに扱おうとしないことです。カードなら「合計」，文章題なら「求めるもの」に的をしぼり，そこから芋づる式に他の量を表していく。手が止まるのは計算力ではなく，「どこに注目するか」が決まらないときです。注目する 1 点を決めてから動き出すと，複雑に見える問題も筋道が通ります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，こうした長文の問題を「なんとなく読む」で終わらせず，条件を 1 つずつ式や図に書き出して整理する ところまで指導します。規則性なら「何が変わって何が変わらないか」，文章題なら「一文ずつ等式に直す」というように，読み方の手順を身につけると，初めて見る長い問題でも落ち着いて立式できるようになります。

得点力を育てる指導のポイント: 長い問題文は，読みながら条件を一行ずつメモに書き出してもらいます。頭の中だけで処理しようとせず，手を動かして条件を目に見える形にすることが，複雑な問題を解ききる力につながります。

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規則性・文章題の解き方（まとめ）

• カードと袋の操作は，合計の増減だけを追う（操作② $+0$，操作③ $+1$，操作④ $+2$）
• 求めたい結果（X）がわかっているなら，逆向きにたどると条件が確定しやすい
• 割合・「〜より多い」は，日本語をそのまま等式に翻訳する
• 文章題は求めるものだけを文字に置き，ほかの量はその文字の式で表す
• 長い問題ほど，条件を一文ずつ書き出してから立式する

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