中1数学・1次方程式を等式の性質からわかりやすく攻略する

この記事でわかること

「移項すると符号が変わる、と習ったけれど、なぜそうなるのか分からない」という声を，中1生からよく聞きます。1次方程式は，正負の数・文字式に続いて習う単元で，ここから「答えを求める」数学が本格的に始まります。やり方だけを丸暗記すると，少し形が変わっただけで手が止まってしまいます。

逆に，等式の性質という土台から理解しておけば，移項も係数の処理も「同じ1つの考え方」で説明できるようになります。この記事では，次のことを解説します。

• 方程式と「等式の性質」の関係
• 移項が符号を変える本当の理由
• $x$ の係数（$x$ の前の数）の処理のしかた
• 答えを自分で確かめる検算のやり方

そして最後に，この1次方程式が中2の「連立方程式」へどうつながるかまで見通します。

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1次方程式とは

方程式とは，まだわからない数 $x$ を含んだ等式のことです。

$$2x + 3 = 11$$

この式を成り立たせる $x$ を見つけることを，「方程式を解く」といいます。上の式なら $x=4$ です。$x$ に4を入れると $2\times4+3=11$ となり，たしかに左辺と右辺が等しくなります。

大切なのは，方程式は左辺と右辺がつり合った天びんだというイメージです。左の皿と右の皿が同じ重さでつり合っている。この「つり合い」をくずさないように $x$ だけを残していく——それが方程式を解くということです。

土台になる「等式の性質」

天びんのつり合いをくずさない操作は，次の4つです。これを等式の性質といいます。

等式の両辺に，同じ数を足してもつり合いは変わらない 等式の両辺から，同じ数を引いてもつり合いは変わらない 等式の両辺に，同じ数を掛けてもつり合いは変わらない 等式の両辺を，同じ数で割ってもつり合いは変わらない（0で割る場合を除く）

天びんで考えると当たり前です。両方の皿に同じおもりを足しても，両方から同じだけ取り去っても，つり合ったままです。1次方程式を解く操作は，すべてこの4つのどれかになっています。やっていることは，たったこれだけです。

移項のしくみ

移項とは「項を反対側へ移すと符号が変わる」という，あの操作です。多くの人がここを丸暗記しますが，本当は等式の性質を使っているだけです。

$$x + 3 = 7$$

左辺の $x$ だけを残したいので，両辺から3を引きます（等式の性質）。

$$x + 3 - 3 = 7 - 3$$

左辺は $+3-3$ が消えて $x$ だけになり，右辺は $7-3=4$ です。

$$x = 7 - 3 = 4$$

ここで，もとの式と結果を見比べてください。左辺にあった $+3$ が，右辺では $-3$ になって現れています。

$$x + 3 = 7 \quad\Longrightarrow\quad x = 7 - 3$$

この「両辺から3を引く」という1段を省略して，**「$+3$ を右へ移すと $-3$ になる」**と呼んでいるだけなのです。だから移項で符号が変わるのは，両辺から同じ数を引いた（足した）結果にすぎません。しくみがわかれば，「なぜ符号が変わるんだっけ」と迷うことがなくなります。

移項＝両辺に同じ数を足す・引く，を一気にやること。だから符号が反対になる。

$x$ の係数の処理

移項で $x$ の項だけを左に集めると，多くの場合 $x$ の前に数（係数）が残ります。

$$3x = 12$$

この $3$ を消すには，両辺を3で割ります（これも等式の性質）。

$$\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$$ $$x = 4$$

係数が分数のときも考え方は同じで，その逆数を両辺に掛けると速く解けます。たとえば $\dfrac{2}{3}x=4$ なら，両辺に $\dfrac{3}{2}$ を掛けて $x=6$ です。

ここまでをまとめると，1次方程式を解く流れは次の2ステップです。

① 移項して $x$ の項を左・数を右に集める（等式の性質：足す・引く） ② 両辺を $x$ の係数で割る（等式の性質：割る）

新しいルールは何も増えていません。すべて等式の性質から出てきています。

練習問題でたしかめよう

次の方程式を，いきなり答えを書かず，移項の1段を必ずはさんで解いてみてください。移項のところでは「両辺から何を引いた（足した）のか」を意識すると，符号のミスが減ります。

1. $x - 5 = 3$
2. $2x + 1 = 9$
3. $5x - 4 = 3x + 6$
4. $\dfrac{1}{2}x + 2 = 5$

解説

第1問 左辺の $-5$ を右へ移項（両辺に5を足す）。

$$x - 5 = 3 \;\Longrightarrow\; x = 3 + 5 = 8$$

第2問 まず $+1$ を移項（両辺から1を引く），次に係数2で両辺を割る。

$$2x + 1 = 9 \;\Longrightarrow\; 2x = 9 - 1 = 8 \;\Longrightarrow\; x = \frac{8}{2} = 4$$

第3問 $x$ の項を左に，数を右に集めます。右辺の $3x$ を左へ（$-3x$），左辺の $-4$ を右へ（$+4$）移項します。

$$5x - 4 = 3x + 6 \;\Longrightarrow\; 5x - 3x = 6 + 4 \;\Longrightarrow\; 2x = 10 \;\Longrightarrow\; x = 5$$

第4問 $+2$ を移項してから，係数 $\dfrac{1}{2}$ の逆数 $2$ を両辺に掛けます。

$$\frac{1}{2}x + 2 = 5 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}x = 3 \;\Longrightarrow\; x = 3 \times 2 = 6$$

どの問題も，やったことは「移項（足す・引く）」と「係数で割る（掛ける）」の2種類だけです。

かならず検算をする

答えが出たら，それで終わりにせず，もとの式の $x$ に代入して確かめます。これを検算といいます。第3問（$x=5$）で確かめてみましょう。

$$\text{左辺} = 5\times5 - 4 = 21, \quad \text{右辺} = 3\times5 + 6 = 21$$

左辺と右辺が同じ値になったので，$x=5$ は正解です。検算をする習慣をつけると，移項のときの符号ミスにその場で気づけます。テストでも，時間が余ったら必ず代入して確かめるクセをつけておくと，取りこぼしが大きく減ります。

連立方程式への橋わたし

ここまでの1次方程式は，わからない数が $x$ ひとつでした。では，わからない数が $x$ と $y$ のふたつになったらどうでしょう。

$$x + y = 7$$

この式だけでは，$x=3,\,y=4$ かもしれないし，$x=5,\,y=2$ かもしれません。答えがひとつに決まりません。文字が2つあるのに式が1つしかないからです。

そこで，もう1つ条件（式）を加えます。

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

このように，2つの式を組にしたものを連立方程式といいます。中2で習うこの単元も，解くときに使う道具は等式の性質と移項——つまり，この記事で身につけたものとまったく同じです。2つの式をうまく足したり引いたりして文字を1つ消し，最後は1次方程式に持ち込んで解きます。

1次方程式（文字1つ）→ 連立方程式（文字2つ）。土台の「等式の性質」は変わらない。

だからこそ，1次方程式を「やり方の暗記」ではなく「等式の性質から」理解しておくことが大切なのです。ここがあいまいなまま連立方程式に進むと，計算量が増えた分だけミスも増えてしまいます。連立方程式の解き方は，中2・連立方程式の記事でくわしく解説します。

まとめ

操作	使っている等式の性質
移項（足す・引く）	両辺に同じ数を足す／引く
係数で割る	両辺を同じ数で割る
分数の係数を消す	両辺に逆数を掛ける
検算	$x$ に代入して左辺＝右辺を確認

1次方程式は，連立方程式・2次方程式・関数とその後すべての土台になる単元です。移項や係数の処理を「やり方」として丸暗記すると，少し形が変わっただけで止まってしまいます。等式の性質という1つの土台から理解しておけば，どんな方程式も同じ考え方で崩していけます。

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