中2数学・連立方程式を1次方程式の延長としてわかりやすく攻略する

この記事でわかること

「文字が $x$ だけのときは解けたのに，$x$ と $y$ の2つになったとたん手が止まる」——連立方程式は，中2生がつまずきやすい単元の一つです。新しい解き方をいくつも覚えないといけない気がして，身構えてしまう人が多いところです。

ですが，連立方程式はまったく新しい単元ではありません。中1で習った1次方程式の，すなおな延長です。やることをひとことで言えば，「文字を1つ消して，1次方程式に持ち込む」。これだけです。この記事では，次のことを解説します。

• なぜ式が2つ必要なのか
• 文字を1つ消すという，連立方程式の中心となる発想
• 加減法・代入法の使い分けとやり方
• 答えを自分で確かめる検算のしかた

中1の1次方程式がまだあいまいな人は，先に1次方程式の記事を読んでおくと，この記事がぐっと分かりやすくなります。

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なぜ式が2つ必要なのか

まず，次の式を見てください。

$$x + y = 7$$

この式を成り立たせる $x,\,y$ は，1組ではありません。$x=3,\,y=4$ でも，$x=5,\,y=2$ でも，$x=1,\,y=6$ でも成り立ちます。答えがひとつに決まらないのです。理由は単純で，わからない文字が2つあるのに，条件（式）が1つしかないからです。

そこで，もう1つ条件を加えます。

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

この2つを同時に満たす $x,\,y$ を考えると，答えは $x=4,\,y=3$ の1組だけに決まります。このように，2つの式を組にしたものを連立方程式といいます。

文字が2つ → 式も2つそろって，はじめて答えが1組に決まる。

中心になる発想は「文字を1つ消す」

連立方程式が解けない原因のほとんどは，「文字が2つある」ことに圧倒されてしまうことです。でも，私たちが中1で解けるのは，文字が1つの1次方程式まで。だったら，やることは決まっています。

どうにかして文字を1つ消し，文字1つの1次方程式に持ち込む。

この発想さえ持っていれば，連立方程式は「知っている問題」に変わります。文字を消す方法が2つあり，それが加減法と代入法です。どちらも，使う道具は1次方程式と同じ等式の性質と移項だけです。

加減法

加減法は，2つの式を足すか引くかして，文字を1つ消す方法です。さきほどの連立方程式で試します。

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

$y$ に注目すると，上の式は $+y$，下の式は $-y$ で異符号です。異符号なので，2つの式を足すと $y$ が消えます。左辺どうし・右辺どうしを足します。

$$(x + y) + (x - y) = 7 + 1$$ $$2x = 8 \;\Longrightarrow\; x = 4$$

$y$ が消えて，見慣れた1次方程式 $2x=8$ になりました。$x=4$ と求まったら，これをどちらかの式に代入して $y$ を求めます。上の式に入れると，

$$4 + y = 7 \;\Longrightarrow\; y = 3$$

答えは $x=4,\,y=3$ です。足すか引くかの判断は，消したい文字の符号で決めます。

消したい文字の係数が同符号なら引く，異符号なら足す。

ここまでは，消したい文字の係数がたまたま同じ大きさ（$+y$ と $-y$）でした。でも実際には，係数がそろっていないことのほうが多いです。そのときは，式を何倍かして係数をそろえてから足し引きします。両辺を同じ数で掛けるのは，これも等式の性質そのものです。

一方の式だけを整数倍する

$$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

$y$ を消したいのですが，係数は $+2$ と $-1$ でそろっていません。そこで，下の式だけを2倍して，$y$ の係数の大きさを2にそろえます。

$$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 6x - 2y = 6 \end{cases}$$

これで $y$ は $+2$ と $-2$ の異符号。2式を足すと $y$ が消えます。

$$(x + 2y) + (6x - 2y) = 8 + 6 \;\Longrightarrow\; 7x = 14 \;\Longrightarrow\; x = 2$$

$x=2$ を $x+2y=8$ に代入して，$2+2y=8$ より $y=3$。答えは $x=2,\,y=3$ です。掛ける数を選ぶときは，そろえたい係数の最小公倍数を目印にすると速く決まります。

両方の式を整数倍する

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x + 2y = 13 \end{cases}$$

今度は $x$ の係数が $2$ と $3$。片方を整数倍するだけではそろいません。こういうときは，両方の式を掛けて係数を最小公倍数の $6$ にそろえます。上の式を3倍，下の式を2倍します。

$$\begin{cases} 6x + 9y = 36 \\ 6x + 4y = 26 \end{cases}$$

$x$ の係数が $+6$ どうしの同符号になったので，2式を引くと $x$ が消えます。

$$(6x + 9y) - (6x + 4y) = 36 - 26 \;\Longrightarrow\; 5y = 10 \;\Longrightarrow\; y = 2$$

$y=2$ を $2x+3y=12$ に代入して，$2x+6=12$ より $x=3$。答えは $x=3,\,y=2$ です。

係数がそろわないときは，最小公倍数を目標に，一方または両方の式を整数倍してからそろえる。

代入法

代入法は，片方の式をもう一方に代入して，文字を1つ消す方法です。次の連立方程式で試します。

$$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$$

上の式は $y=\,$の形に整理ずみで，$y$ が $2x-1$ と等しいとわかっています。なので，下の式の $y$ を $2x-1$ にそっくり置きかえます。

$$3x + (2x - 1) = 9$$

これで $y$ が消え，文字 $x$ だけの1次方程式になりました。あとはいつもどおりです。

$$3x + 2x - 1 = 9 \;\Longrightarrow\; 5x = 10 \;\Longrightarrow\; x = 2$$

$x=2$ を $y=2x-1$ に代入して，

$$y = 2\times2 - 1 = 3$$

答えは $x=2,\,y=3$ です。

加減法と代入法の使い分け

2つの方法は，どちらでも解けます。ただし向き・不向きがあります。

こんな式のとき	向いている方法
$y=\,$… や $x=\,$… の形に整理された式がある	代入法
$ax+by=c$ の形が2つ並んでいる	加減法

迷ったら，慣れるまでは両方で解いて答えが一致するかを確かめると，どちらの感覚も身につきます。どちらを選んでも，ゴールは同じ「文字を1つ消して1次方程式にする」ことです。

練習問題でたしかめよう

次の連立方程式を解いてみてください。1問目は加減法，2問目は代入法が向いています。文字を1つ消したら，あとは1次方程式として解くだけです。

1. $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}$
2. $\begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + y = 11 \end{cases}$

解説

第1問（加減法） $y$ が上は $+y$，下は $-y$ で異符号なので，2式を足すと $y$ が消えます。

$$(2x + y) + (x - y) = 8 + 1 \;\Longrightarrow\; 3x = 9 \;\Longrightarrow\; x = 3$$

$x=3$ を $x-y=1$ に代入して，$3-y=1$ より $y=2$。答えは $x=3,\,y=2$。

第2問（代入法） 上の式 $y=x+2$ を，下の式の $y$ に置きかえます。

$$2x + (x + 2) = 11 \;\Longrightarrow\; 3x + 2 = 11 \;\Longrightarrow\; 3x = 9 \;\Longrightarrow\; x = 3$$

$x=3$ を $y=x+2$ に代入して $y=5$。答えは $x=3,\,y=5$。

どちらも，文字を1つ消したあとは中1で習った1次方程式そのものです。

かならず検算をする

連立方程式は文字が2つある分，求めた値は2つの式の両方に代入して確かめます。片方だけ合っていても，もう片方が合わなければ正解ではありません。第1問（$x=3,\,y=2$）で確かめます。

$$2\times3 + 2 = 8 \;(\text{1つ目の式に一致}), \quad 3 - 2 = 1 \;(\text{2つ目の式に一致})$$

両方の式が成り立ったので，$x=3,\,y=2$ は正解です。連立方程式は計算の手数が多いぶん，途中の符号ミスが起きやすい単元です。最後に必ず両方の式へ代入する——これを徹底すると，ミスにその場で気づけます。

まとめ

ステップ	やること
① 文字を1つ消す	加減法（足す・引く）または代入法（置きかえる）
② 1次方程式を解く	移項と係数の処理（中1で習った通り）
③ もう一方の文字を求める	求めた値をどちらかの式に代入
④ 検算	2つの式の両方に代入して確認

連立方程式は，新しく覚えることが多い単元に見えて，その正体は**「文字を1つ消して，1次方程式に持ち込む」**だけです。土台になっているのは，中1で習った1次方程式と等式の性質。だからこそ，1次方程式があいまいなまま進むとつまずきます。逆に，そこが固まっていれば，連立方程式は自然に解けるようになります。

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