大手前高松中2025 大問3｜平面図形の求積（複合図形・等積移動・全体から引く）

この問題について

面積公式を直接当てはめられない図形のことを 複合図形 といいます。 複合図形の求積では、下の 5 パターンを使って解くことができます。 この問題では、① 〜 ③ の基本パターンの考え方を学べます。

① 分ける　　② 全体から引く　　③ 等積移動・等積変形

④ 図形の付け足し　　⑤ 重ねて引く

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大手前高松中（2025）大問 3

難易度: ★★☆☆☆　 分野: 平面図形・直線図形・曲線図形 目安時間: 8分

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平面図形の求積の解き方（解法のポイント）

複合図形の求積でつまずく一番の原因は、「公式に当てはめようとして、当てはまらない」ことです。大切なのは、公式が使える形にどう持ち込むかという発想です。

1. 分ける（対角線などで、面積の出せる三角形やおうぎ形に切り分ける）
2. 全体から引く（求める部分を含む大きな図形から、いらない部分を引く）
3. 等積移動・等積変形（同じ面積の部分を動かして、計算しやすい形にまとめる）

この大問では、(1) で「分ける」、(2) で「等積移動」、(4) で「全体から引く」と、複合図形の代表的な考え方をひととおり使います。図のどこに直角マークや等しい長さがあるかをチェックし、「どのパターンに持ち込めるか」を考えるのが第一歩です。

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大問3 （1）

答え・解説を見る

特別でない四角形は、対角線で 2 枚の三角形に分けるのが基本です。 この問題では、対角線の引き方は 2 通りあります。 下図の左と右のどちらが正しい分け方でしょう？ 理由も合わせて考えてください。

正解は左です。 直角マークに注意すると、左図は底辺4㎝の三角形の高さは8㎝、底辺6㎝の三角形の高さは10㎝が対応します。 一方、右図は底辺4㎝の三角形も、6㎝の三角形も高さがわかりません。

下図から四角形の面積は、

$$4 \times 8 \div 2 + 6 \times 10 \div 2 = 46 ~ (\text{㎝²})$$

（答）46 ㎝²

KRONE ポイント

四角形は対角線で三角形 2 枚に分けよう。

直角マークは重要ヒント！　底辺と高さの組み合わせを見つけよう。

大問3 （2）

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求める部分がバラバラのときには、よく 等積移動 を使います。 同じ面積の部分を見つけて移動させるのです。 葉っぱ型の部分に注目してください。 下図の ☆ は 90º のおうぎ形から直角二等辺三角形を引いたものです。 ですから、図のように ☆ は移動させても、求める面積は変わりません。

等積移動させると、求める面積は下図と同じになります。

色がついた部分の面積は、半径 20㎝・中心角 90º のおうぎ形から、20㎝ の直角二等辺三角形を引いた残りと同じになります。

$$\begin{aligned} 20 \times 20 \times 3.14 \times \frac{90º}{360º} - 20 \times 20 \div 2 &= 314 - 200 \\ &= 114 ~ (\text{㎝²}) \end{aligned}$$

（答）114 ㎝²

KRONE ポイント

求める図形が離れているときは 等積移動 で 1 か所に集められるか考えよう。

大問3 （3）

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右上と左下のおうぎ形の中心角がわかりません。 半径は全部10㎝なので3つのおうぎ形を全部集めてみます。 すると、中心角の合計は三角形の内角の和に等しい ので、半円になります。

色がついた部分の面積は、直角三角形の面積から半円を引いた大きさになります。

$$\begin{aligned} 30 \times 25 \div 2 - 10 \times 10 \times 3.14 \times \frac{180º}{360º} &= 375 - 157 \\ &= 218 ~ (\text{㎝²}) \end{aligned}$$

（答）218 ㎝²

KRONE ポイント

半径は同じだけど中心角がわからないおうぎ形は全部集めてみる。

大問3 （4）

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複合図形の求積で一番使えるのが 全体から引く です。 「求める部分」と「求めない部分」を合わせた全体の面積から、「求めない部分」の面積を引きます。

全体の面積を求めましょう。 半径 4 ㎝の半円、半径 3 ㎝の半円と直角三角形の合計です。

$$4 \times 4 \times 3.14 \times \frac{180º}{360º} = 8 \times 3.14 \\[1em] 3 \times 3 \times 3.14 \times \frac{180º}{360º} = 4.5 \times 3.14 \\[1em] 6 \times 8 \div 2 = 24$$

合わせると、$12.5 \times 3.14 + 24$ ㎝² になります。

求めなくてもいいのは、半径 5㎝ の白い半円です。

$$5 \times 5 \times 3.14 \times \frac{180º}{360º} = 12.5 \times 3.14$$

したがって、色がついた部分の面積は

$$(12.5 \times 3.14 + 24) - 12.5 \times 3.14 = 24 ~ (\text{㎝²})$$

（答）24 ㎝²

KRONE ポイント

全体から最大の半円を引く → 直角三角形の面積

「ヒポクラテスの三日月」と呼ばれるとても有名なパターンなので、 求める面積は直角三角形に集まることを覚えておきましょう。

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この問題から学ぶこと

平面図形の求積で問われているのは、複雑な計算力ではなく、図形をどう見るかという発想力です。公式を覚えているだけでは、公式が使える形に見えない図形の前で手が止まってしまいます。

この大問の(1)〜(4)は、「分ける」「等積移動」「全体から引く」という、複合図形を攻略する基本パターンの見本市のような構成になっています。直角マークから底辺と高さの組み合わせを読み取る、同じ面積の部分を見つけて動かす、いらない部分を全体から引く——こうした見方を一つずつ身につけておくと、初めて見る図形でも「どのパターンに持ち込めるか」と落ち着いて考えられるようになります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、図形の問題を「答えが合ったかどうか」だけで終わらせず、なぜその補助線を引いたのか、なぜその部分を移動させたのかを言葉で説明できるところまで指導します。求積のパターンは数が限られているので、一問ごとに「今どのパターンを使ったか」を意識づけることで、初見の問題に強い見方が育っていきます。

図形に強くなる指導のポイント: 図形は「手を動かして試す」ことが何より大切です。授業では、対角線の引き方を2通り比べたり、等積移動の前後を図で確かめたりと、自分で図にかき込みながら考える時間を重視しています。

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まとめ

• 複合図形は公式に当てはめるのではなく、公式が使える形に持ち込むのが基本
• 代表的なパターンは「分ける」「等積移動」「全体から引く」の3つ
• (1) は対角線で三角形2枚に分ける。直角マークから底辺と高さの組み合わせを読む
• (2) は等積移動で離れた部分を1か所に集める。(4) は全体から引いて求める

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