中村中学2025 問題4｜的当てゲームの得点と場合の数（条件整理）

この問題について

中村中学（2025 年度）算数の大問 4 は、3 点・2 点・1 点の的に当てる的当てゲームの問題です。合計点の差から回数を求める前半と、順位や回数の条件からありうる組み合わせをすべて書き出す後半に分かれます。

大事なのは、与えられた条件を 式や表に整理してから 調べることです。この記事では (1)(2) を、条件のつかまえ方と数え上げの順序を確認しながら解いていきます。

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中村中学（2025）問題 4

A さん，B さん，C さんの 3 人がボールで的当てゲームをします。的はそれぞれ，3 点，2 点，1 点です。1 人 10 回ボールを的に当て，合計点数が高い順に順位を決めました。3 人の点数は同点にはなりませんでした。下の表は A さんと B さんの結果をまとめたものです。このとき，次の問いに答えなさい。

	3 点	2 点	1 点
A さん	3 回	2 回	5 回
B さん	ア	6 回	イ

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問題 4 （1）

B さんは A さんに 2 点差で勝ちました。このときの ア，イ の回数をそれぞれ求めなさい。

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まず A さんの合計点を求めます。3 点を 3 回、2 点を 2 回、1 点を 5 回なので

$$3 \times 3 + 2 \times 2 + 1 \times 5 = 9 + 4 + 5 = 18 ~ (\text{点})$$

B さんは A さんに 2 点差で勝ったので、B さんの合計点は $18 + 2 = 20$ 点です。

B さんも 10 回当てているので、ア（3 点の回数）と イ（1 点の回数）と 2 点の 6 回を合わせて 10 回。

$$\text{ア} + 6 + \text{イ} = 10 \quad\Rightarrow\quad \text{ア} + \text{イ} = 4$$

点数のほうは、3 点が ア 回、2 点が 6 回、1 点が イ 回で合計 20 点。

$$3 \times \text{ア} + 2 \times 6 + 1 \times \text{イ} = 20 \quad\Rightarrow\quad 3 \times \text{ア} + \text{イ} = 8$$

回数の式と点数の式を見くらべます。$3 \times \text{ア} + \text{イ}$ から $\text{ア} + \text{イ}$ を引くと、イ が消えて

$$2 \times \text{ア} = 8 - 4 = 4 \quad\Rightarrow\quad \text{ア} = 2$$

$\text{ア} + \text{イ} = 4$ なので $\text{イ} = 2$ です。たしかめると、3 点 2 回・2 点 6 回・1 点 2 回で $6 + 12 + 2 = 20$ 点、回数も $2 + 6 + 2 = 10$ 回で合います。

（答）　ア…2 回，　イ…2 回

KRONE ポイント

回数と点数で 2 つの式 を作るのが急所。回数の合計は 10、点数の合計は 20 と、それぞれ条件を式にして見くらべると、片方の数が消えてもう一方が求まります。

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問題 4 （2）

C さんの 1 点の的に当てた回数は，A さんの 1 点の的に当てた回数より少なく，C さんの順位は 2 位でした。このとき，C さんはそれぞれの的に何回ずつ当てましたか。考えられるすべての組み合わせを答えなさい。図や式を使って考え方も説明しなさい。

答え・解説を見る

まず 3 人の順位を決めます。(1) より A さんは 18 点、B さんは 20 点でした。C さんは 2 位なので、点数は A さん（18 点）より高く、B さん（20 点）より低い。3 人が同点にならないことから、C さんの合計点は

$$18 < (\text{C さんの点数}) < 20 \quad\Rightarrow\quad (\text{C さんの点数}) = 19 ~ (\text{点})$$

次に、C さんが 3 点を $a$ 回、2 点を $b$ 回、1 点を $c$ 回当てたとします。10 回当てているので回数の式は

$$a + b + c = 10$$

点数は 19 点なので

$$3 \times a + 2 \times b + 1 \times c = 19$$

点数の式から回数の式を引くと、$c$ が消えて

$$2 \times a + b = 9$$

条件がもう一つあります。C さんの 1 点の回数 $c$ は、A さんの 1 点の回数 5 回より少ないので $c \leqq 4$ です。

$2 \times a + b = 9$ を満たす $a$ を 0 から順に調べ、そのつど $b$ と $c$（$c = 10 - a - b$）を出して、$c \leqq 4$ になるものだけを残します。

$a$（3 点）	$b$（2 点）	$c$（1 点）	$c \leqq 4$ か
0	9	1	○
1	7	2	○
2	5	3	○
3	3	4	○
4	1	5	×（5 は 4 より多い）

$a = 4$ のときだけ $c = 5$ となり条件に合いません。だから、考えられる組み合わせは 4 通りです。

（答）　（3 点，2 点，1 点）＝（0 回，9 回，1 回），（1 回，7 回，2 回），（2 回，5 回，3 回），（3 回，3 回，4 回）の 4 通り

KRONE ポイント

「すべて答える」問題は、条件を式にして片方の数を 0 から順に動かす のが急所。$2 \times a + b = 9$ を満たす組を順に書き出し、そのつど残りの条件（$c \leqq 4$）で選別すると、数え落としなくすべて見つかります。

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、点数と回数のように 条件が 2 つあるときは、2 つの式にして見くらべる ということです。

• 回数の合計と点数の合計を、それぞれ式にする
• 2 つの式を引き算すると、いらない数が消えて残りが求まる
• 「すべて答える」ときは、片方の数を 0 から順に動かし、そのつど条件で選別する

条件を頭の中だけで追わず、式や表に書き出すこと。それが数え落としと勘ちがいを防ぐいちばんの近道です。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、場合の数の問題を「あてずっぽうで数える」のではなく、条件を式に直し、調べる順序を自分で決める練習から指導しています。

公式やパターンにあてはめるのではなく、条件を整理して順序よく数え上げた経験を土台にすること。それが、初めて見る問題でも数え落とさずに答えを出しきる力になると考えています。

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