開智中学2025年 算数大問1 解説｜計算・逆算から虫食い算・立体の体積まで

分数と小数がまじった逆算です。まず数を分数にそろえます。$2.25 = \dfrac{9}{4}$，$3.25 = \dfrac{13}{4}$，$1\dfrac{11}{16} = \dfrac{27}{16}$ なので，

$\dfrac{9}{4} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{81}{16}$ です。ここで $\dfrac{13}{4} \times \square$ をひとかたまりと見ると，

最後に $\dfrac{13}{4}$ で割って（逆数をかけて）$\square$ を求めます。

$\dfrac{27}{26}$ は仮分数なので，帯分数になおして $1\dfrac{1}{26}$ です。

数がわからないもののうち，かたほうを基準にそろえるのが第一手です。ここでは消しゴム 1 個を1円とおきます。すると「ノート 1 冊は消しゴム 1 個の 3 倍より 20 円高い」ので，ノート 1 冊は3 ＋ 20 と表せます。

これを「ノート 4 冊 ＋ 消しゴム 5 個 ＝ 1440 円」にあてはめます。ノート 4 冊は，

消しゴム 5 個は5なので，合わせると，

数だけの 80 を右に移すと，17が 1360 にあたるとわかります。

だから1，つまり消しゴム 1 個は，

聞かれているのはノート 1 冊なので，3 ＋ 20 にもどして，

仕事全体の量を，30 と 14 の最小公倍数にあたる 210 とおきます。こうすると，1 時間あたりの仕事量が整数になって計算がらくになります。

機械 A は 30 時間で全体を終えるので，1 時間あたり，

A と B の両方だと 14 時間で終えるので，1 時間あたり，

両方で 1 時間に 15 進み，そのうち A のぶんが 7 なので，B だけのぶんは $15 - 7 = 8$ です。だから機械 B だけで全体 210 を終えるのにかかる時間は，

$0.25$ 時間は $60 \times 0.25 = 15$ 分なので，26 時間 15 分です。

まず 2 つの列車の長さを出します。急行は $20 \times 6 = 120$ m，普通は $20 \times 5 = 100$ m です。すれ違いも追いこしも，「2 つの列車の長さの合計」だけ進めば終わります。

すれ違いは反対向きに進むので，2 つの速さの和で 220 m を 4 秒でこなします。だから速さの和は，

追いこしは同じ向きに進むので，2 つの速さの差で 220 m を 20 秒かけてこなします。だから速さの差は，

急行と普通の速さについて，和が 55，差が 11 とわかりました。急行のほうが速いので，和差算で急行の速さは，

九九の1の段は $1 \times 1 + 1 \times 2 + \cdots + 1 \times 9$，これは $1 \times (1 + 2 + \cdots + 9)$ です。$1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ なので，1の段の合計は $1 \times 45$ になります。

同じように，2の段は $2 \times 45$，3の段は $3 \times 45$ …と続くので，九九全体の合計は，

$n$ という数は $n$ 個ならぶので，1 から $n$ までならべ終えたとき，全部で $1 + 2 + \cdots + n$ 個ならんでいます。この個数が 150 に近づくところを探します。

16 までならべ終えた時点で 136 番目です。ここから 17 が 17 個ならぶので，137 番目から 153 番目までがすべて 17 になります。150 番目はその中に入るので，答えは 17 です。

わからない数を全部いっぺんに考えるとこんがらがります。「値が確定する場所」から順に決めていくのが虫食い算の鉄則です。見えている数字は，割られる数の百の位の $2$，3 段目の一の位の $8$，そして余りの $6$ の 3 つだけです。

まず，割る数を求めます。3 段目は「割る数 × 商のある位」の答えで，その一の位が $8$ です。一の位が $8$ になるかけ算を，割る数を 1 けたの数として探すと，$8 \times 6 = 48$，$8 \times 1 = 8$ のように，割る数が $8$ のときにうまく当てはまります。また，余りが $6$ で，これは割る数より小さくなければならないので，割る数は $6$ より大きい 1 けたの数です。この 2 つから，割る数は $8$ と決まります。

次に，割られる数を求めます。商は 3 けたで，一の位どうしをかけた 5 段目は $\text{（商の一の位）} \times 8$ です。ここから最後に余り $6$ が出るので，$\text{（商の一の位）} \times 8$ の一の位に $6$ を足すと，直前の数の一の位になります。順に筆算を組み立てていくと，割られる数は $1294$，商は $161$ と決まります。実際に確かめると，

割られる数の百の位は $2$，3 段目は $6 \times 8 = 48$ で一の位が $8$，余りは $6$ と，見えている数字がすべて図と合っています。

「立体を水にしずめると，しずめた立体が押しのけたぶんだけ水面が上がり，容器からあふれます」。この問題では水は満水ではなく，水面の上に高さ $20 - 18 = 2$ cm ぶんの空きがあります。だから，しずめた四角すいの体積のうち，この空きに入りきらなかったぶんだけがあふれます。

まず，しずめる四角すいの体積を求めます。

四角すいは高さ 20 cm で容器の高さ 20 cm と同じなので，容器の中にちょうど全部おさまります。次に，水面の上に空いている高さ 2 cm ぶんの容積を求めます。ここに入るぶんはあふれません。

しずめた四角すい 540 cm³ のうち，この空き 401.92 cm³ に入りきらないぶんがあふれるので，