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約7分算数中学受験

中村中学2025 問題3｜正三角形に並べた数の規則（規則性）

中村中学（2025年度）算数 大問3の解説。正三角形を段々に並べて数を入れた図から、各段の三角形の個数・右端の数・ある数の位置を、段と数の関係を式にして求めていきます。

この問題について

中村中学（2025 年度）算数の大問 3 は、正三角形を段々に並べ、1 段目から順に数を入れていく 規則性 の問題です。

図をながめて数の並びを書き出し、段の番号との関係を式にできれば、何段目でも、大きな数でも位置が求められます。この記事では (1) 〜 (3) まで、段と数の関係のつかみ方を一つずつ確認します。

中村中学（2025）問題 3

右の図のように正三角形を並べて，この正三角形に 1 段目から順に数を入れました。このとき，次の問いに答えなさい。

中村中学2025年算数大問3 正三角形を段々に並べ、1段目に1、2段目に2・3・4、3段目に5・6・7・8・9と数を入れた図

問題 3 （1）

10 段目に並ぶ正三角形は全部で何個ですか。

答え・解説を見る

各段の三角形の個数を書き出すと、1 段目は 1 個、2 段目は 3 個、3 段目は 5 個です。2 個ずつ増えている ので、個数は 1・3・5・7・… という奇数の並びになります。

□\square 段目の個数は、1 番目の 1 から (□−1)(\square - 1) 回ぶん 2 を足した数なので

1+2×(□−1)1 + 2 \times (\square - 1)

10 段目は □=10\square = 10 を入れて

1+2×(10−1)=1+18=19 (個)1 + 2 \times (10 - 1) = 1 + 18 = 19 ~ (\text{個})

（答）　19 個

KRONE ポイント

段ごとの個数は、まず いくつずつ増えるか を確かめます。2 ずつ増えるので、□\square 段目は 1+2×(□−1)1 + 2 \times (\square - 1)。奇数の並びだと気づけば、□\square 段目 ＝ 2×□−12 \times \square - 1 とも書けます。

問題 3 （2）

1 段目から 5 段目までの 1 番右の数の和はいくつですか。

答え・解説を見る

各段の 1 番右の数を書き出します。1 段目の右端は 1、2 段目は 4、3 段目は 9 です。これは 1×11 \times 1、2×22 \times 2、3×33 \times 3 となっていて、□\square 段目の右端は □×□\square \times \square（段の番号を 2 回かけた数）だと分かります。

理由は、□\square 段目までに三角形が全部で何個あるかを考えると分かります。1 段目までで 1 個、2 段目までで 1+3=41 + 3 = 4 個、3 段目までで 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9 個。奇数を 1 から順に足した和は、その個数を 2 回かけた数になるからです。

だから 4 段目の右端は 4×4=164 \times 4 = 16、5 段目は 5×5=255 \times 5 = 25。1 段目から 5 段目までの右端の数の和は

1+4+9+16+25=551 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

（答）　55

KRONE ポイント

各段の右端の数は、その段までにある三角形の合計の個数と同じ。奇数を 1 から足した和は 段の番号を 2 回かけた数 になるので、□\square 段目の右端は □×□\square \times \square です。

問題 3 （3）

74 は何段目の左から何番目の数ですか。図や式を使って考え方も説明しなさい。

答え・解説を見る

(2) で分かったとおり、□\square 段目の右端の数は □×□\square \times \square です。だから、右端の数を段ごとに並べると 1・4・9・16・25・36・49・64・81・… となります。

74 がどの段にあるかは、74 のすぐ上とすぐ下にくる右端の数をさがして決めます。8 段目の右端は 8×8=648 \times 8 = 64、9 段目の右端は 9×9=819 \times 9 = 81。74 は 64 より大きく 81 以下なので、9 段目 にあります。

9 段目は、8 段目の右端 64 の次の 65 から始まります。74 は 65 から数えて

74−64=10 (番目)74 - 64 = 10 ~ (\text{番目})

だから 74 は 9 段目の左から 10 番目の数です。

（答）　9 段目の左から 10 番目

KRONE ポイント

ある数の位置は、両どなりの右端の数ではさむ のが急所。8×8=648 \times 8 = 64 と 9×9=819 \times 9 = 81 の間だから 9 段目、その段の始まりの数 65 から数えて何番目か、と 2 段階で決めます。

この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、図に並んだ数も 段の番号との関係を式にすれば 計算で追えるということです。

  • 各段の個数は、いくつずつ増えるかを見て □\square 段目 ＝ 2×□−12 \times \square - 1
  • 各段の右端の数は、その段までの合計個数と同じで □×□\square \times \square
  • ある数の位置は、両どなりの右端の数ではさんで段を決め、段の始まりから数える

書き出して規則を見つけ、それを式にする。この 2 段構えができると、大きな数でも位置がすぐ求められます。

クローネ学園での指導

クローネ学園では、規則性の問題を、まず自分の手で数段ぶんを書き出し、「段の番号と数がどうつながっているか」を自分の目で見つける練習から指導しています。

公式を丸暗記させるのではなく、書き出して関係を見つけた経験を土台にすること。それが、初めて見る規則の問題にも自分で立ち向かえる力になると考えています。

まとめ

  • 中村中学 2025 問題 3 は、正三角形に並べた数の 規則性
  • (1)19 個（□\square 段目 ＝ 2×□−12 \times \square - 1）
  • (2)55（各段の右端は □×□\square \times \square、1 〜 5 段の和）
  • (3)9 段目の左から 10 番目（64 と 81 の間、始まりの 65 から数える）

クローネ学園では、規則性・数列の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。

本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）

FAQ

よくある質問

図に数が並ぶ規則性の問題は、どこに注目すればよいですか？

まず、段の番号とその段にある個数の関係を見つけます。次に、各段の終わり（右端）の数が段の番号でどう表せるかを調べると、とちゅうの数の位置も計算で求められます。書き出して規則を見つけ、それを式にするのが基本の流れです。

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