中村中学2025 問題2｜濃度・過不足算から図形・立体まで（一行問題集）

この問題について

中村中学（2025 年度）算数の大問 2 は、分野のちがう問題が 9 問ならぶ 一行問題集（小問集合） です。濃度・過不足算・周期・速さ・場合の数、そして多角形の角・面積・回転体・水の深さと、はば広く出ています。

大事なのは「これは何算か」と分類を暗記することではなく、与えられた条件をどう整理し、どこに着眼するか です。この記事では (1) 〜 (9) まで、条件の整理のしかたと着眼点を一つずつ確認します。

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中村中学（2025）問題 2

次の $\boxed{\phantom{0}}$ にあてはまる数を求めなさい。

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問題 2 （1）

6% の食塩水 200g に水 100g を加えてできる食塩水は $\boxed{\phantom{0}}$ % です。

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水を加えても、とけている 食塩の重さは変わらない のがこの問題の急所です。まず、はじめの食塩水にふくまれる食塩の重さを求めます。

$$200 \times 0.06 = 12 ~ (\text{g})$$

水を 100g 加えると、食塩水全体は

$$200 + 100 = 300 ~ (\text{g})$$

食塩 12g はそのままなので、濃度は

$$\frac{12}{300} \times 100 = 4 ~ (\%)$$

（答）　4%

KRONE ポイント

水を加える・蒸発させる問題は、食塩の重さを固定 して考えるのが急所。変わるのは水の量だけなので、食塩を先に出しておけば新しい濃度がすぐ求まります。

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問題 2 （2）

何人かの子どもたちにあめ玉を配ります。1 人に 8 個ずつ配るときは 10 個余り，1 人に 12 個ずつ配るときは 18 個足りません。このとき，あめ玉は全部で $\boxed{\phantom{0}}$ 個あります。

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配り方を変えると、必要なあめ玉の数がどれだけ変わるかに着眼します。1 人に 8 個ずつだと 10 個余り、12 個ずつだと 18 個足りないので、12 個ずつのほうが

$$10 + 18 = 28 ~ (\text{個})$$

多く必要になります。この 28 個は、1 人あたり $12 - 8 = 4$ 個ずつ多く配ったことで生まれた差なので、子どもの人数は

$$28 \div 4 = 7 ~ (\text{人})$$

あめ玉の数は、8 個ずつ配って 10 個余る場合で計算すると

$$8 \times 7 + 10 = 66 ~ (\text{個})$$

（答）　66 個

KRONE ポイント

過不足算は、配る差の合計 ÷ 1 人あたりの差 ＝ 人数 で人数を先に出すのが急所。「余り」と「足りない」は合わせて差にすると、人数の手がかりになります。

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問題 2 （3）

下のように，規則的に数字が並んでいます。左から数えて，100 番目の数字は $\boxed{\phantom{0}}$ です。

$$1, ~ 2, ~ 3, ~ 1, ~ 2, ~ 3, ~ 1, ~ 2, ~ 3, ~ 1 ~ \cdots$$

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数字は 1・2・3 の 3 つで 1 かたまり をつくり、それがくり返されています。100 番目が何かは、100 を 3 で割った余りで決まります。

$$100 \div 3 = 33 ~ \text{あまり} ~ 1$$

余りが 1 なので、かたまりの 1 番目の数字と同じです。かたまりの並びは 1・2・3 なので、1 番目は 1。だから 100 番目は 1 です。

（答）　1

KRONE ポイント

くり返しの問題は 1 かたまりの個数で割った余り に注目します。余りが 1 なら 1 番目、2 なら 2 番目、割り切れたらかたまりの最後、と対応させれば何番目でも計算で出せます。

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問題 2 （4）

家から公園まで 240m はなれています。妹は分速 40m の速さで公園から家に向かいました。また，姉は分速 80m の速さで家から公園に向かいました。2 人が同時に出発したとき，2 人が出会うのは家から $\boxed{\phantom{0}}$ m の地点です。

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2 人は向かい合って進むので、1 分ごとに 2 人の間の道のりは、2 人の速さの和のぶんだけちぢみます。

$$40 + 80 = 120 ~ (\text{m／分})$$

はじめ 240m はなれているので、出会うまでの時間は

$$240 \div 120 = 2 ~ (\text{分})$$

聞かれているのは 家からの距離 です。姉は家から分速 80m で進むので、2 分間で

$$80 \times 2 = 160 ~ (\text{m})$$

（答）　160m

KRONE ポイント

向かい合って進む出会いの問題は、速さの和で間の道のりがちぢむ と考えます。出会う時間を出したら、聞かれている人の速さでその時間ぶん進んだ距離を答えます。

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問題 2 （5）

0，1，2，3，4 と書かれたカードが 1 枚ずつあります。2 枚のカードを並べて 2 けたの整数をつくるとき，できる整数は全部で $\boxed{\phantom{0}}$ 個です。

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2 けたの整数なので、十の位に 0 は使えないことに着眼します。十の位に置けるのは 1・2・3・4 の 4 通りです。

一の位は、十の位で使ったカード以外なら 0 も使えます。5 枚のうち 1 枚を十の位で使ったので、残りは 4 枚。つまり一の位は 4 通りです。

$$4 \times 4 = 16 ~ (\text{個})$$

（答）　16 個

KRONE ポイント

けたをつくる場合の数は、位ごとに置ける数の通り数をかける。いちばんの急所は「十の位に 0 は使えない」こと。先頭に 0 を置けないという条件を見落とさないのがコツです。

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問題 2 （6）

下の図で，ア の角度は $\boxed{\phantom{0}}$ ° です。

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五角形の内角の和は決まっていて、$180° \times (5 - 2) = 540°$ です。ほかの 4 つの角が分かっているので、残りの ア は全体からそれらを引けば求まります。

$$540 - (91 + 112 + 109 + 123) = 540 - 435 = 105 ~ (°)$$

（答）　105°

KRONE ポイント

多角形の角の問題は、まず 内角の和 をおさえます。五角形なら 540°。分かっている角を足して全体から引くだけで、残りの角が求まります。

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問題 2 （7）

右の図は，一辺の長さが 1cm，2cm，3cm の正方形を組み合わせたものです。色のぬられた部分の面積は $\boxed{\phantom{0}}$ cm² です。

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正方形を階段のように並べ、左下のかどから右上のかどへ直線を引いた図です。色がついているのは、その直線より上の部分です。

まず、直線の下側にできる大きな直角三角形に着目します。底辺は $1 + 2 + 3 = 6$ cm、高さは 3cm なので、その面積は

$$6 \times 3 \div 2 = 9 ~ (\text{cm}^2)$$

次に、階段全体（3 つの正方形が重なった図形）の面積を求めます。はば 1cm で高さ 1cm、はば 2cm で高さ 2cm、はば 3cm で高さ 3cm の 3 つの縦長部分に分けると

$$1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 = 1 + 4 + 9 = 14 ~ (\text{cm}^2)$$

色のついた部分は、階段全体から直線より下の三角形（9cm²）を引いたものなので

$$14 - 9 = 5 ~ (\text{cm}^2)$$

（答）　5cm²

KRONE ポイント

斜めの直線で分けられた面積は、全体から反対側を引く のが急所。直線の下は「底辺 6・高さ 3 の三角形」ときれいに求まるので、階段全体から引けば色の部分が出ます。

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問題 2 （8）

右の図の図形を，直線 $\ell$ を中心に 1 回転させてできる立体の体積は $\boxed{\phantom{0}}$ cm³ です。

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一辺 10cm の正方形が、軸 $\ell$ から 10cm はなれた場所にあります。これを軸のまわりに 1 回転させると、まん中に穴のあいた円柱（中空の円柱） ができます。

外側の半径は、軸から正方形の遠いほうの辺までで $10 + 10 = 20$ cm。内側の半径は、軸から近いほうの辺までで 10cm。高さは正方形の一辺で 10cm です。

体積は「外側の大きな円柱」から「内側の穴の円柱」を引いて求めます。

$$20 \times 20 \times 3.14 \times 10 - 10 \times 10 \times 3.14 \times 10$$

$3.14$ を後でまとめてかけると

$$(400 - 100) \times 10 \times 3.14 = 3000 \times 3.14 = 9420 ~ (\text{cm}^3)$$

（答）　9420cm³

KRONE ポイント

軸からはなれた図形の回転体は、穴のあいた立体 になります。外側の円柱から内側の穴を引くのが急所。$3.14$ は最後にまとめてかけると計算が 1 回ですみます。

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問題 2 （9）

右の図のように直方体を組み合わせた容器の ア の面を下にして置き，水面の高さが 3cm になるまで水を入れました。この容器を イ の面を下にして置くと，水面の高さは $\boxed{\phantom{0}}$ cm になります。ただし，容器の厚さは考えないものとします。

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大事なのは、置き方を変えても 入っている水の量は変わらない ことです。まず ア の面を下にしたときの水の量を求めます。

ア の面（底）は 5cm と 12cm の長方形なので、底面積は $5 \times 12 = 60 ~ \text{cm}^2$。水面の高さが 3cm なので、水の量は

$$60 \times 3 = 180 ~ (\text{cm}^3)$$

次に イ の面を下にして置くと、水がのっている底の面積が変わります。イ の面を下にしたときの底面積は $12 \times 6 = 72 ~ \text{cm}^2$ です。水の量は 180cm³ のままなので、水面の高さは

$$180 \div 72 = 2.5 ~ (\text{cm})$$

（答）　2.5cm

KRONE ポイント

容器の置き方を変える問題は、水の量を固定 して考えます。まず 1 つの置き方で水の量を出し、置き方を変えたときの底面積で割れば、新しい水面の高さが求まります。

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、分野がちがっても効く 条件の整理のしかた があるということです。

• 濃度や水の量の問題は、変わらないもの（食塩の重さ・水の量）を固定する
• 過不足算は、配る差の合計を人数の手がかりにする
• 場合の数は位ごとの通り数をかけ、多角形は内角の和からせめる
• 回転体や容器は、外側から穴を引く・底面積で割るなど、立体を分けて考える

「何算か」を当てにいくより、条件をどう整理するかを身につけるほうが、初めて見る問題に強くなれます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、一行問題集を「数をこなす」だけでなく、与えられた条件をどう書き出し、どこに着眼するかを言葉にする練習から指導しています。

公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手を動かして条件を整理した経験を土台にすること。それが、初めて見る問題でも手がかりを自分で見つけられる力になると考えています。

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クローネ学園では、一行問題集・分野別の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。