育英西中学2024 問題3｜直角二等辺三角形の模様と三角数（規則性）

この問題について

育英西中学（2024 年度・A 日程）算数の大問 3 は、同じ大きさの直角二等辺三角形（ア）と（イ）をならべて模様をつくり、（イ）に 1 から順に整数を書き入れていく 規則性 の問題です。

数えあげれば答えは出ますが、6 番目・9 番目と番号が大きくなると数えきれません。「1 つ前からいくつ増えるか」に注目して、増え方そのものを式にするのがこの問題の急所です。この記事では(1)〜(5)まで、図のどこを見て規則を立てるかを順に確認します。

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育英西中学（2024）問題 3

同じ大きさの（ア）と（イ）の直角二等辺三角形を【図】のようにならべて，模様をつくる。（イ）に【図】のような規則で 1 から順に整数を記入する。このとき，次の各問いに答えなさい。

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問題 3 （1）

6 番目の模様は 5 番目の模様より（ア）の枚数は何枚多いか求めなさい。

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まず、各番目で（ア）が何枚あるかを実際に数えて、増え方を調べます。

番目	1	2	3	4
（ア）の枚数	1	3	6	10

増えた枚数を見ると

$$1 \xrightarrow{+2} 3 \xrightarrow{+3} 6 \xrightarrow{+4} 10$$

となり、次の番目にうつるときは、その番号の分だけふえています。2 番目になるとき 2 枚、3 番目になるとき 3 枚、…という増え方です。だから 5 番目から 6 番目になるときは、6 番目の番号と同じだけふえて

$$\text{6 番目} - \text{5 番目} = 6 ~ \text{(枚)}$$

（答）　6 枚

KRONE ポイント

規則性は「1 つ前からいくつ増えたか」をまず表にして調べましょう。増え方が 2, 3, 4, … と 1 ずつ大きくなる形は、この単元で最もよく出ます。

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問題 3 （2）

6 番目の模様の（ア）の枚数は何枚か求めなさい。

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(1)で調べたとおり、（ア）の枚数は番号が 1 つ進むごとに 2, 3, 4, … 枚とふえていきます。1 番目の 1 枚から、6 番目までふえた分を足していくと

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ~ \text{(枚)}$$

つまり○番目の（ア）の枚数は、1 からその番号までを順に足した数 になっています。たとえば 6 番目なら 1 から 6 までの和です。このような数を三角数とよびます。

（答）　21 枚

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問題 3 （3）

1 番目から 6 番目までの 6 つの模様を作るには，（ア）の枚数は全部で何枚必要か求めなさい。

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1 番目から 6 番目まで、それぞれの（ア）の枚数は

$$1,~ 3,~ 6,~ 10,~ 15,~ 21$$

でした（6 番目は(2)で求めた 21 枚）。これを全部足します。

$$1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 ~ \text{(枚)}$$

（答）　56 枚

KRONE ポイント

「全部で何枚」と聞かれたら、各番目の枚数を順に書き出してから足すと確実です。1 つの式に頼らず、求めた値を表にならべる習慣がミスを防ぎます。

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問題 3 （4）

6 番目の模様について，記入された整数をすべて足すといくつになるか求めなさい。

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（イ）に書き入れる整数は、1 番目から順に「（イ）の個数」だけ使われます。（イ）の個数は

番目	1	2	3	4	5	6
（イ）の個数	0	1	3	6	10	15

となり、6 番目では 1 から 15 まで の整数が書き入れられます（上の解説図でも数字が 15 まで入っています）。

その合計は

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 15 = \frac{(1 + 15) \times 15}{2} = 120$$

（答）　120

KRONE ポイント

1 から順に並んだ整数の和は （最初＋最後）×個数÷2。ガウスの足し算ともよばれる、規則性で必ず使う公式です。

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問題 3 （5）

（イ）に記入された整数が 1 から 36 までになるのは，何番目の模様か求めなさい。また，その模様の（ア）の枚数は何枚か求めなさい。

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(4)で見たとおり、（イ）の個数は「1 つ前の番号までを順に足した三角数」です。（イ）が 1 から 36 まで、つまり 36 個 になる番目をさがします。

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 8 = \frac{(1 + 8) \times 8}{2} = 36$$

8 まで足すと 36 になるので、（イ）が 36 個になるのは 9 番目 です。

次に、9 番目の（ア）の枚数は(2)と同じく 1 から 9 までの和なので

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 9 = \frac{(1 + 9) \times 9}{2} = 45 ~ \text{(枚)}$$

（答）　9 番目，　45 枚

KRONE ポイント

（イ）の個数も（ア）の枚数も、どちらも「1 から順に足した三角数」です。同じ三角数が 番号を 1 つずらして あらわれていることに気づくと、この大問はまとめて見通せます。

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、増え方を調べて、それを足し合わせる という規則性の基本の流れです。

• （ア）の枚数は 1, 3, 6, 10, … と、増え方が 2, 3, 4, … になる三角数
• 三角数は「1 からその番号までの和」で、（最初＋最後）×個数÷2 で一気に求められる
• （イ）の個数も同じ三角数で、番号を 1 つずらしただけ

番号が大きくなって数えきれない問題ほど、最初の数項で規則をつかみ、和の公式に持ち込む力が問われます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、こうした規則性の問題を「まず数えて表にする → 増え方を見つける → 公式で一般化する」という順序で指導しています。

公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手で数えて確かめた経験を土台にすること。それが、初めて見る規則にも自分で立ち向かえる力になると考えています。

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クローネ学園では、規則性・図形の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。