育英西中学2023 問題4｜コインを裏返す操作とさいころ（場合の数）
育英西中学（2023年度・A日程）算数 大問4の解説。さいころの目でコインを裏返す操作を、ルールを正しく読み取り、逆算や場合分けで一つずつ追っていきます。
この問題について
育英西中学（2023 年度・A 日程）算数の大問 4 は、2 個のさいころの目にしたがってコインを裏返す 操作 の問題です。場合の数や推理の力が問われます。
この手の問題は、まずルールを正確に読み取ることが何より大切です。この記事では(1)〜(3)まで、操作のルールを確かめながら、逆算や場合分けで一つずつ追っていきます。
育英西中学（2023）問題 4
片面が白色で反対の面が黒色のコイン 11 枚がある。すべてのコインを白色の面が見えるように横一列に並べる。次のような操作を何回か行い，コインを裏返すこととする。
〈操作〉 ① 大小 2 個のさいころを投げる。 ② 左から数えて「大のさいころの出た目の数」番目のコインから右に「小のさいころの出た目の数」枚のコインを裏返す。
次の【例】は 1 回目の操作で「大 2，小 5」のさいころの目が出たとき，コインの並び方がどのようになるかを示したものである。
【例】「大 2，小 5」 このような操作を何回か行うとき，次の各問いに答えなさい。
問題 4 （1）
1 回目の操作で「大 4，小 3」のさいころの目が出たとき，コインの並び方はどのようになるか。解答用紙の○のうち，黒色の面が見えるコインをぬりつぶして答えなさい。
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「大 4，小 3」なので、左から 4 番目のコインから右に 3 枚、つまり 4 番目・5 番目・6 番目を裏返します。最初は全部白なので、この 3 枚が黒になります。
（答） 4 番目・5 番目・6 番目が黒（○○○●●●○○○○○）
KRONE ポイント
ルールは「大の目の番目から、小の目の枚数だけ右へ」。まず例で動きを確かめてから、4 番目を起点に 3 枚と正確に数えます。
問題 4 （2）
2 回目の操作の後，コインの並び方が下の［図 1］のようになった。
［図 1］ （ i ）1 回目の操作で「大 4，小 3」のさいころの目が出たとき，2 回目の操作で出たさいころの目を答えなさい。
（ ii ）2 回目の操作で「大 5，小 2」のさいころの目が出たとき，1 回目の操作で出たさいころの目を答えなさい。
（iii）2 回目の操作の後，［図 1］のようなコインの並び方となるさいころの目の出方の組み合わせは，全部で何通りあるか答えなさい。
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［図 1］は、3 番目・5 番目・6 番目が黒の並び（○○●○●●○○○○○）です。
（ i ） 1 回目「大 4，小 3」で 4・5・6 番目が黒になりました（(1)と同じ）。ここから 2 回目の操作で［図 1］になるには、変化したコインを調べます。1 回目の後は 4・5・6 番目が黒、［図 1］は 3・5・6 番目が黒なので、ちがうのは 3 番目（白→黒）と 4 番目（黒→白） の 2 枚です。
この連続した 2 枚（3 番目・4 番目）を裏返せばよいので、2 回目は 左から 3 番目から 2 枚、つまり「大 3，小 2」です。
（答）（ i ） 大 3，小 2
（ ii ） 2 回目「大 5，小 2」は 5 番目・6 番目を裏返す操作です。［図 1］から逆にこの操作を戻すと、2 回目を行う前（＝1 回目の後）の並びは、5・6 番目を裏返した状態になります。［図 1］は 3・5・6 番目が黒なので、5・6 番目を裏返すと 3 番目だけが黒 の状態だったとわかります。
最初は全部白なので、1 回目で 3 番目だけを黒にする操作は 左から 3 番目から 1 枚、つまり「大 3，小 1」です。
（答）（ ii ） 大 3，小 1
（iii） 2 回の操作で、最初の全部白から［図 1］（3・5・6 番目が黒）になる目の組み合わせを数えます。順に調べると、次の 6 通りが見つかります。
| 1 回目 | 2 回目 |
|---|---|
| 大 3，小 1 | 大 5，小 2 |
| 大 3，小 2 | 大 4，小 3 |
| 大 3，小 4 | 大 4，小 1 |
| 大 4，小 1 | 大 3，小 4 |
| 大 4，小 3 | 大 3，小 2 |
| 大 5，小 2 | 大 3，小 1 |
（答）（iii） 6 通り
KRONE ポイント
結果から操作を戻す 逆算 が決め手。同じ操作をもう一度行えば元に戻る（裏返しは 2 回で元どおり）性質を使うと、前の状態を求められます。
問題 4 （3）
コインの並び方が下の［図 2］のようになるためには，最短で何回の操作を繰り返す必要があるか答えなさい。
［図 2］
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［図 2］は、2・4・6・8・10 番目が黒の 白黒交互 の並びです。1 回の操作で裏返せるのは「連続したコイン」だけなので、とびとびに黒を作るには工夫が必要です。
黒にしたい場所がとびとびなので、連続した区間を裏返しては重ねて、必要な所だけ黒く残していきます。順に最短の手順をさがすと、5 回 の操作で［図 2］の交互の並びを作れます。
（答） 5 回
KRONE ポイント
1 回で裏返せるのは 連続したコインだけ。とびとびの模様は、区間の裏返しを重ねて、ちょうど必要な所だけ黒が残るように組み立てます。少ない回数からためすのがコツです。
この問題から学ぶこと
この大問が教えてくれるのは、操作の問題は ルールを正確に読み取り、逆算と場合分けで追う ことが得点の近道だということです。
- まず例にならって、ルールどおりに 1 回手を動かす
- 結果から操作を戻す「逆算」を使う（裏返しは 2 回で元どおり）
- 1 回で動かせるのは連続した区間だけ、という制限に注目する
- 数え上げは、もれなく順序よく書き出す
ルールの読みちがいが最大の失点原因です。例で動きを確かめてから進める習慣が、複雑な操作問題を整理してくれます。
クローネ学園での指導
クローネ学園では、操作やルールのある問題を、まず例のとおりに自分の手で動かして確かめる練習から指導しています。
公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手で操作を試して仕組みを確かめた経験を土台にすること。それが、初めて見る問題にも自分で立ち向かえる力になると考えています。
まとめ
- 育英西中学 2023 問題 4 は、さいころの目でコインを裏返す 操作（場合の数） の問題
- (1)4〜6 番目が黒、(2)（i）大 3 小 2・（ii）大 3 小 1・（iii）6 通り、(3)5 回
- ルールを正確に読み取り、結果から戻す逆算と場合分けで追う
- 1 回で裏返せるのは連続した区間だけ、という制限がカギ
クローネ学園では、場合の数・操作の問題の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。
本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
FAQ
よくある質問
操作のルールがある問題は、何から手をつければよいですか？
まず例にならって、ルールどおりに自分の手で1回操作してみることです。どの位置から何枚裏返すのかを正確に読み取れれば、あとは逆算（結果から操作を戻す）や場合分けで追えます。ルールの読みちがいが最大の失点原因なので、例で確認してから進めるのがコツです。
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