育英西中学2023 問題3｜図形の周を動く点と三角形の面積（点の移動）
育英西中学（2023年度・A日程）算数 大問3の解説。L字型の図形の周上を動く点Pと三角形ABPの面積の変化を、点Pがどの辺にいるかで場合を分けて考えます。
この問題について
育英西中学（2023 年度・A 日程）算数の大問 3 は、L 字型の図形（ア）の周上を点 P が動き、三角形 ABP の面積がどう変わるかを問う 点の移動 の問題です。
点が動く問題は、まず「今どの辺の上にいるか」を時間から場所に直すことが出発点です。この記事では(1)〜(4)まで、点 P の位置と面積の関係を一つずつ確認します。
育英西中学（2023）問題 3
下の図のように，縦 8cm，横 12cm の長方形から縦 4cm，横 6cm の長方形を切り取ってできた図形（ア）がある。 点 P はこの図形の周上を毎秒 1cm の速さで頂点 B から移動し，B → C → D → E → F → A の順に点 A まで移動する。 このとき，次の各問いに答えなさい。
問題 3 （1）
点 P が頂点 B を出発してから 3 秒後，三角形 ABP の面積を求めなさい。
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点 P は毎秒 1cm なので、3 秒後は頂点 B から 3cm 進んだ位置、つまり辺 BC 上にいます。下の図のオレンジ色が、このときの三角形 ABP です。
三角形 ABP は、底辺を BP、高さを AB（＝ 8cm）とみると
（答） 12cm²
KRONE ポイント
点の移動はまず 時間を場所に直す。毎秒 1cm なら、3 秒後は 3cm 進んだ位置。 点 P が辺 BC にいる間は、底辺 BP がのびるほど面積が増えます。
問題 3 （2）
点 P が頂点 B を出発してから 14 秒後，三角形 ABP の面積を求めなさい。
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辺 BC の長さは 12cm なので、点 P が B から C まで進むのに 12 秒かかります。14 秒後は、C を通りすぎて辺 CD 上を cm 進んだ位置にいます。下の図のオレンジ色が、このときの三角形 ABP です。
このとき点 P は頂点 C から 2cm 上にいますが、三角形 ABP の 底辺を AB（＝8cm）、高さを P の横の位置（B からの横のきょり 12cm） とみると、高さは 12cm のままです。
（答） 48cm²
KRONE ポイント
点 P が辺 CD（たての辺）を上がっている間は、AB からの 横のきょりが 12cm のまま なので面積は変わりません。 どの長さが変わってどの長さが変わらないかを見分けるのが急所です。
問題 3 （3）
三角形 ABP の面積が図形（ア）の面積の半分となるのは 2 回ある。2 回目に三角形 ABP の面積が図形（ア）の面積の半分となるのは，点 P が頂点 B を出発してから何秒後になるか求めなさい。
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まず図形（ア）の面積を出します。大きい長方形から切り取った長方形を引いて
その半分は cm² です。三角形 ABP の面積が 36cm²になる点 P をさがします。
三角形 ABP の面積は「（AB からの横のきょり）× 8 ÷ 2」なので、36cm²になるのは横のきょりが 9cm のとき。
横のきょりが 9cm になるのは 2 回あります。
1 回目は、辺 BC 上で、B から 9cm 進んだとき。これは 9 秒後です。
2 回目は、点 P が辺 DE（上の横の辺）を D から E へ動いているとき。点 P は C（12 秒）→D（16 秒）を通り、D から左へ進みます。横のきょりが 9cm になるのは D から cm 進んだときなので、 秒後です。
下の図のオレンジ色が、それぞれのときの三角形 ABP です。どちらも横のきょりが 9cm で、面積は同じ 36cm² になっています。
（答） 19 秒後
KRONE ポイント
面積が同じになる点が 2 回あるのは、横のきょりが同じ場所が 2 か所ある から。点 P がどの辺にいるかを時間で押さえ、行きと戻りで同じ横のきょりになる時刻を探します。
問題 3 （4）
点 P が頂点 B を出発してから 16 秒後，三角形 ABP と図形（ア）が重なっている部分の面積を求めなさい。
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16 秒後、点 P はちょうど頂点 D（B から横に 12cm、上に 4cm）にいます。三角形 ABP（A・B・D）を考えると、この三角形は図形（ア）の 切り取られた部分（右上の長方形）にはみ出します。重なっている部分だけを求めます。
下の図で、オレンジ色が三角形 ABD 全体、赤色が切り取られた部分にはみ出している三角形です。求めたいのは、オレンジから赤をのぞいた重なっている部分です。
三角形 ABD の面積は
このうち、切り取られた右上の長方形（E・F・D の角の部分）にはみ出している三角形の面積は 6cm²です。
（答） 42cm²
KRONE ポイント
図形が欠けている（切り取られている）ときは、まず全体の三角形を求め、はみ出した分を引く。重なりを直接追うより、引き算で考えると確実です。
この問題から学ぶこと
この大問が教えてくれるのは、点の移動は「今どの辺にいるかで場合を分ける」ことが出発点だということです。
- 時間を場所に直し、点 P がどの辺にいるかをまず確かめる
- 三角形の面積は、底辺と高さのどちらが変わっているかに注目する
- 図形が欠けているときは、全体から引いて重なりを求める
辺の角ごとにていねいに区切る習慣が、複雑に見える点の移動を整理してくれます。
クローネ学園での指導
クローネ学園では、点の移動を「点 P がどの辺にいるか」を図にかきこみながら、時間と場所を結びつける練習から指導しています。
公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手で点を動かして確かめた経験を土台にすること。それが、初めて見る問題にも自分で立ち向かえる力になると考えています。
まとめ
- 育英西中学 2023 問題 3 は、L 字型の図形の周を動く点と三角形の面積の 点の移動
- (1)12cm²、(2)48cm²、(3)19 秒後、(4)42cm²
- 点 P がどの辺にいるかで場合を分け、底辺と高さのどちらが変わるかに注目する
- 欠けた図形は全体から引いて重なりを求める
クローネ学園では、点の移動・図形の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。
本記事の文章・図版の著作権はクローネ学園に帰属します。無断転載・複製・二次利用を禁じます。（執筆：横田 耕祐）
FAQ
よくある質問
点が図形の周を動く問題は、どこに注目して考えればよいですか？
まず点が今どの辺の上にいるかを、時間から場所に直して確かめます。三角形の面積は底辺と高さで決まるので、動く点が底辺の長さや高さのどちらを変えているのかに注目すると、面積の増え方・減り方が見えてきます。辺の角ごとに場合を分けるのがコツです。
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