育英西中学2023 問題2｜公倍数・速さ・割合から図形まで（一行問題集）

この問題について

育英西中学（2023 年度・A 日程）算数の大問 2 は、分野のちがう問題が 10 問ならぶ 一行問題集（小問集合） です。最小公倍数・速さ・濃度・割合・平均・規則性、そして角度・円・立体の図形まではば広く出ています。

大事なのは「これは何算か」と分類を暗記することではなく、与えられた条件をどう整理し、どこに着眼するか です。この記事では(1)〜(10)まで、条件の整理のしかたと着眼点を一つずつ確認します。

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育英西中学（2023）問題 2

次の $\boxed{\phantom{0}}$ にあてはまる数を答えなさい。ただし，円周率は 3.14 とする。

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問題 2 （1）

45 と 54 の最小公倍数は $\boxed{\phantom{0}}$ である。

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それぞれを素数のかけ算に分けます。

$$45 = 3 \times 3 \times 5, \quad 54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$$

最小公倍数は、両方に出てくる素数を いちばん多い個数だけ かけ合わせます。3 は 54 の方が多い（3 個）、2 と 5 はそれぞれ 1 個ずつ必要なので

$$2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 270$$

（答）　270

KRONE ポイント

最小公倍数は 素数に分けて、多い方の個数をとる。45 と 54 を素因数分解して、3 の個数が多い 54 に合わせるのがポイントです。

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問題 2 （2）

190km の道のりを毎時 50km の速さで進むと，$\boxed{\phantom{0}}$ 時間 $\boxed{\phantom{0}}$ 分かかる。

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時間 ＝ 道のり ÷ 速さ なので

$$190 \div 50 = 3.8 ~ (\text{時間})$$

$0.8$ 時間を分に直すと

$$60 \times 0.8 = 48 ~ (\text{分})$$

（答）　3 時間 48 分

KRONE ポイント

時間が小数で出たら、小数部分に 60 をかけて分に直します。$0.8$時間＝48 分。「何時間何分」と問われたら直し忘れないこと。

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問題 2 （3）

食塩 30g を水 220g に溶かすと，$\boxed{\phantom{0}}$ % の食塩水ができる。

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濃度は $\dfrac{\text{食塩}}{\text{食塩水}} \times 100$ です。食塩水全体は、食塩と水を合わせた重さなので

$$30 + 220 = 250 ~ (\text{g})$$

濃度は

$$\frac{30}{250} \times 100 = 12 ~ (\%)$$

（答）　12%

KRONE ポイント

食塩水の重さは 食塩＋水。水の重さだけで割らないのが急所です。濃度は食塩を全体でわります。

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問題 2 （4）

240 ページの本を 1 日目に全体の $\dfrac{1}{3}$ を読み，2 日目に残りの $\dfrac{5}{8}$ を読むと，残りは $\boxed{\phantom{0}}$ ページである。

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1 日目に全体の $\dfrac{1}{3}$ を読むので、1 日目の終わりに残っているのは

$$240 \times \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 240 \times \frac{2}{3} = 160 ~ (\text{ページ})$$

2 日目はこの 160 ページの $\dfrac{5}{8}$ を読むので、2 日目に残るのは

$$160 - 160 \times \frac{5}{8} = 60 ~ (\text{ページ})$$

（答）　60 ページ

KRONE ポイント

「残りの $\dfrac{5}{8}$」の 残り は、全体ではなく 1 日目の後の 160 ページが基準。何を 1 とみているかを取りちがえないことが急所です。

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問題 2 （5）

商品 A を，原価の 25% の利益を見込んで定価をつけた。しかし，売れなかったため，定価の 200 円引きで売ったところ，400 円の利益がでた。このとき，商品 A の原価は $\boxed{\phantom{0}}$ 円である。

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原価を 1 とおくと、定価は 25%の利益を見込むので 1.25 にあたります。

定価の 200 円引きで売って利益が 400 円だったので、売った値段は「原価 ＋ 400 円」。これが「定価 − 200 円」と等しいので

$$\text{原価} + 400 = \text{定価} - 200 = \text{原価} \times 1.25 - 200$$

原価の 0.25 倍が $400 + 200 = 600$ 円にあたるので

$$600 \div 0.25 = 2400 ~ (\text{円})$$

（答）　2400 円

KRONE ポイント

利益や割引の問題は 原価を 1 とおく。定価＝1.25、売値＝原価＋400 と式にそろえると、差から原価が求められます。

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問題 2 （6）

すみれさんの 3 回の算数のテストの平均点は 82 点であった。4 回目のテストは 74 点であった。4 回のテストの平均点は $\boxed{\phantom{0}}$ 点である。

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平均の問題は、まず 合計 にもどします。3 回の平均が 82 点なので、3 回の合計は

$$82 \times 3 = 246 ~ (\text{点})$$

4 回目の 74 点を加えると、4 回の合計は

$$246 + 74 = 320 ~ (\text{点})$$

4 回の平均は

$$320 \div 4 = 80 ~ (\text{点})$$

（答）　80 点

KRONE ポイント

平均は いったん合計にもどす のが鉄則。「平均 × 回数 ＝ 合計」で合計を出し、新しい回数で割り直します。

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問題 2 （7）

ある規則にしたがって，数が次のように並んでいる。

$$1, ~ 4, ~ 7, ~ 10, ~ 13, ~ \cdots$$

10 番目の数は $\boxed{\phantom{0}}$ で，1 番目から 10 番目の数の和は $\boxed{\phantom{0}}$ である。

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となりとの差を見ると、いつも 3　ずつ 増えています。1　番目が　1　なので、10　番目は 1 番目から 9 回ぶん増えた数です。

$$1 + 3 \times 9 = 1 + 27 = 28$$

次に 1 番目から　10　番目までの和は、「（最初 ＋ 最後）× 個数 ÷ 2」で求められます。

$$(1 + 28) \times 10 \div 2 = 29 \times 10 \div 2 = 145$$

（答）　10 番目…28，　和…145

KRONE ポイント

同じ数ずつ増える数列は、$\square$番目 ＝ 最初 ＋ 増える数 ×（$\square$ − 1）。和は （最初＋最後）×個数÷2 でまとめて出せます。

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問題 2 （8）

下の正方形において，角アは $\boxed{\phantom{0}}$ °である。

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正方形の　1　辺の長さと、印のついた辺がつくる三角形が 正三角形や二等辺三角形 になることに注目します。

下の解説図のように、印のついた辺でできる三角形の角を順にたどると、左下の角が　60°　と　30°、右下の角が　75°、そして角アの手前が　15°　と決まっていきます。

これらを正方形の直角（90°）と合わせて角アをたどると

$$\text{角ア} = 75 ~ (\text{度})$$

（答）　75 度

KRONE ポイント

同じ印の辺は 同じ長さ。等しい辺でできる二等辺三角形・正三角形の角に注目し、正方形の 90°と組み合わせて角を一つずつ決めていきます。

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問題 2 （9）

下の図は，半径　10cm　の円の内側に，正方形がぴったり入ったものである。このとき，斜線部分の面積は $\boxed{\phantom{0}}$ cm²である。

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斜線部分は、円から正方形をのぞいた 部分です。

まず円の面積を出します。半径 10cm なので

$$10 \times 10 \times 3.14 = 314 ~ (\text{cm}^2)$$

次に正方形の面積を出します。正方形は円にぴったり入っている（内接している）ので、正方形の対角線は円の直径と同じ 20cm です。対角線がわかっている正方形の面積は「対角線 × 対角線 ÷ 2」で求められます。

$$20 \times 20 \div 2 = 200 ~ (\text{cm}^2)$$

斜線部分は円から正方形を引いて

$$314 - 200 = 114 ~ (\text{cm}^2)$$

（答）　114cm²

KRONE ポイント

円に内接する正方形は、対角線＝直径 がカギ。対角線がわかる正方形の面積は「対角線×対角線÷2」で出せます。

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問題 2 （10）

下の図は，円柱からその一部を切り取ってできた立体である。体積は $\boxed{\phantom{0}}$ cm³で，表面積は $\boxed{\phantom{0}}$ cm²である。

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この立体は、半径 3cm・高さ 5cm の円柱のうち、上から見ると 中心角 240° の扇形 の部分だけが残ったものです。

体積 … 底面が「中心角 240°の扇形」の柱なので、体積は「扇形の面積 × 高さ」です。扇形の面積は円の $\dfrac{240}{360} = \dfrac{2}{3}$ にあたります。

$$3 \times 3 \times 3.14 \times \frac{2}{3} \times 5 = 18.84 \times 5 = 94.2 ~ (\text{cm}^3)$$

表面積 … 次の 4 つを足します。

上下の扇形 2 枚：

$$\left( 3 \times 3 \times 3.14 \times \frac{2}{3} \right) \times 2 = 18.84 \times 2 = 37.68 ~ (\text{cm}^2)$$

曲がった側面（円柱の側面の $\dfrac{2}{3}$）：

$$2 \times 3 \times 3.14 \times \frac{2}{3} \times 5 = 12.56 \times 5 = 62.8 ~ (\text{cm}^2)$$

切り口の長方形 2 枚（たて 3cm・高さ 5cm）：

$$3 \times 5 \times 2 = 30 ~ (\text{cm}^2)$$

合わせて

$$37.68 + 62.8 + 30 = 130.48 ~ (\text{cm}^2)$$

（答）　体積…94.2cm³，　表面積…130.48cm²

KRONE ポイント

扇形を底面とする柱は 底面（扇形）× 高さ で体積。表面積は、上下の扇形・曲がった側面・切り口の長方形を 面ごとに分けて 足すと数えもれが防げます。

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、一行問題は「何算か」と分類するより、条件をどう整理し、どこに着眼するか が得点の近道だということです。各問の着眼点をならべると、分野はちがっても共通しているのがわかります。

• 公倍数は素数に分ける、速さや平均はいったん合計や単位にそろえる
• 濃度は変わらない食塩の重さ、割合は原価を 1 とおく
• 規則性はとなりとの差を調べ、和は（最初＋最後）×個数÷2
• 図形は「対角線で正方形の面積」「扇形の柱は底面×高さ」「面ごとに分ける」

どれも「与えられた数をどう並べ、どこを手がかりにするか」という整理の話です。この着眼を覚えることが、初めて見る問題にも効く力になります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、一行問題集を「数をこなす」だけでなく、与えられた条件をどう書き出し、どこに着眼するかを言葉にする練習から指導しています。

公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手を動かして条件を整理した経験を土台にすること。それが、初めて見る問題でも手がかりを自分で見つけられる力になると考えています。

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クローネ学園では、一行問題集・分野別の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。