育英西中学2019 問題4｜水そうの給水と排水（仕事算）

この問題について

育英西中学（2019 年度・A 日程）算数の大問 4 は、直方体の水そうを給水管と排水管で調節する 仕事算 です。

水そうの問題は、まず容積と「1 分あたりの量」にそろえると、あとは足し引きで解けます。この記事では (1) 〜 (4) まで、水の量の追い方を一つずつ確認します。

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育英西中学（2019）問題 4

図のような直方体の水そうがあり，水の量を調節することのできる給水管と排水管がある。いま，この水そうに 4m の高さまで水が入っている。次の問いに答えなさい。

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問題 4 （1）

水そうに入っている水の量は何 $\text{m}^3$ か求めなさい。

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水は底面いっぱいに、高さ 4m まで入っています。底面積は $10 \times 6 = 60 ~ \text{m}^2$ なので

$$60 \times 4 = 240 ~ (\text{m}^3)$$

（答）　$240 ~ \text{m}^3$

KRONE ポイント

水の量は 底面積 × 水の高さ。まず底面積を出してから、入っている高さをかけます。

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問題 4 （2）

給水管から 1 分間に 3 $\text{m}^3$ ずつ水を入れるとき，水そうが満水になるまでに何分かかるか求めなさい。

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満水は底面積 × 高さ 8m なので

$$60 \times 8 = 480 ~ (\text{m}^3)$$

いま 240m³ 入っているので、満水まであと

$$480 - 240 = 240 ~ (\text{m}^3)$$

1 分に 3m³ ずつ入れるので、かかる時間は

$$240 \div 3 = 80 ~ (\text{分})$$

（答）　80 分

KRONE ポイント

満水までの時間は 残りの容積 ÷ 1 分あたりの量。まず満水の量と残りの容積を出してから割ります。

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問題 4 （3）

給水管から 1 分間に 5 $\text{m}^3$ ずつ水を入れるとき，ちょうど 1 時間で水そうを満水にするためには排水管から 1 分間に何 $\text{m}^3$ ずつ排水すればよいか求めなさい。

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ちょうど 1 時間（60 分）で満水にするには、残りの 240m³ を 60 分で入れればよいので、1 分あたりに実際にふえる量は

$$240 \div 60 = 4 ~ (\text{m}^3)$$

給水が 1 分に 5m³ なので、実際にふえる量が 4m³ になるには、排水で 1m³ 出せばよいことになります。

$$5 - 4 = 1 ~ (\text{m}^3)$$

（答）　$1 ~ \text{m}^3$

KRONE ポイント

給水と排水があるときは （入る量）−（出る量）＝ 実際にふえる量。必要なふえる量から逆算して、排水量を求めます。

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問題 4 （4）

ある時刻において，この水そうに 6m の高さまで水が入っていた。下のグラフはその時刻から 60 分後までに給水管から入る水の量を表したものである。排水管からできるだけ少ない一定の水の量を排水し，水そうがあふれないようにするためには 1 分間に何 $\text{m}^3$ ずつ排水すればよいか求めなさい。また，どのように求めたかについても書きなさい。

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はじめ 6m の高さまで入っているので、いまの水の量は $60 \times 6 = 360 ~ \text{m}^3$、満水まであと $480 - 360 = 120 ~ \text{m}^3$ の余裕があります。

排水を 1 分あたり $\square$ m³ とすると、各時間帯で 1 分あたりに実際にふえる量は「給水 − $\square$」です。あふれないためには、水がたまっていく途中のどの時点でも、ふえた量の合計が 120m³ をこえてはいけません。

ふえた量の合計がもっとも大きくなるのは、給水が多い時間帯が続いた後です。グラフより、0 〜 30 分は毎分 10m³、30 〜 50 分は毎分 12m³ 入るので、50 分の時点までにふえる量は

$$(10 - \square) \times 30 + (12 - \square) \times 20 = 540 - 50 \times \square ~ (\text{m}^3)$$

これが 120m³ をこえないようにするので

$$540 - 50 \times \square \leqq 120 \quad\Rightarrow\quad 50 \times \square \geqq 420 \quad\Rightarrow\quad \square \geqq 8.4$$

排水はできるだけ少なくしたいので、$\square = 8.4$。このとき 50 分時点でちょうど満水（あふれる直前）になり、その後は給水が毎分 6m³ に減るので水位は下がり、あふれません。

（答）　$8.4 ~ \text{m}^3$

KRONE ポイント

あふれない条件は ふえた量の合計が最大になる時点 で考えます。給水が多い時間帯の終わり（ここでは 50 分）で容積の余裕をこえないように、排水量を決めるのが急所です。

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、水そうの問題は 容積と 1 分あたりの量にそろえれば足し引きで解ける ということです。

• 水の量は底面積 × 高さ、満水までの時間は残りの容積 ÷ 1 分あたりの量
• 給水と排水があるときは（入る量）−（出る量）で実際にふえる量を見る
• あふれない条件は、ふえた量の合計が最大になる時点で考える

途中で給水量が変わる (4) のような問題ほど、時間帯ごとにふえる量を整理する力が問われます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、水そうの仕事算を「容積を決める → 1 分あたりの量にそろえる → 時間帯ごとに整理する」という一本の手順で指導しています。

公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手で水の増減を追って確かめた経験を土台にすること。それが、初めて見る問題にも自分で立ち向かえる力になると考えています。

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