育英西中学2019 問題3｜電光掲示板の数字と周期（規則性）

この問題について

育英西中学（2019 年度・A 日程）算数の大問 3 は、百の位・十の位・一の位がそれぞれ別の周期でくり返す電光掲示板の問題です。周期と最小公倍数 を使う規則性です。

この問題の急所は、各位の周期が 2・3・5 なので、その最小公倍数 30 秒で表示全体が 1 周する ことです。つまり最初の 30 個だけ書き出してしまえば、あとはそれがくり返す 群数列 として、(1) 〜 (5) すべてを同じ 1 枚の表から読み取れます。この記事では、まずその 30 個の表を作り、各問いをそこから解いていきます。

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育英西中学（2019）問題 3

図のような 3 けたの数を表示する電光掲示板があり，1 秒ごとに百の位，十の位，一の位の数字がすべて変わる。

百の位の表示は　5, 1, 5, 1, 5, 1, …　とくり返される。
十の位の表示は　3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, …　とくり返される。
一の位の表示は　2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, …　とくり返される。

電光掲示板は最初何も表示されておらず，スイッチを入れてから 1 秒後に表示される 3 けたの数は 532 である。このとき，次の問いに答えなさい。

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まず 30 秒ぶんを書き出す

各位の周期は、百の位が 2、十の位が 3、一の位が 5 です。3 つが同時にスタートの並びにもどるのは、2 と 3 と 5 の最小公倍数の秒後なので

$$2 \text{と} 3 \text{と} 5 \text{の最小公倍数} = 30$$

つまり 30 秒たつと表示全体がはじめにもどり、31 秒後は 1 秒後と同じ 532 になります。31 秒目から先は同じ並びのくり返し（群数列）なので、最初の 30 個さえ書き出せば、この大問はすべてこの表から答えられます。

秒後	1	2	3	4	5
1 〜 5	532	153	514	135	551
6 〜 10	112	533	154	515	131
11 〜 15	552	113	534	155	511
16 〜 20	132	553	114	535	151
21 〜 25	512	133	554	115	531
26 〜 30	152	513	134	555	111

各行が 5 秒ぶんで、左の列から順に読みます（1 行目は 1・2・3・4・5 秒後、2 行目は 6・7・8・9・10 秒後…）。以下の各問いは、この表を見て答えていきます。

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問題 3 （1）

はじめて 3 けたの数が 3 で割り切れるのは，スイッチを入れてから何秒後か求めなさい。

答え・解説を見る

表の先頭から、3 で割り切れる数を探します。3 で割り切れるかは 各位の数字の和 が 3 の倍数かで分かります。

1 秒後の 532 は和が $5 + 3 + 2 = 10$ で 3 の倍数ではありません。2 秒後の 153 は

$$1 + 5 + 3 = 9$$

で 9 は 3 の倍数なので、153 は 3 で割り切れます。だから、はじめて 3 で割り切れるのは 2 秒後です。

（答）　2 秒後

KRONE ポイント

3 で割り切れるかは 各位の数字の和 が 3 の倍数かで判定できます。大きな数でもわり算せずに、表の数を上から確かめるだけで見つかります。

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問題 3 （2）

はじめて 3 けたの数が 11 で割り切れるのは，スイッチを入れてから何秒後か求めなさい。

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表の先頭から、11 で割り切れる数をさがします。1 〜 7 秒後（532・153・514・135・551・112・533）はどれも 11 で割り切れません。

8 秒後の 154 は

$$154 = 11 \times 14$$

で 11 で割り切れます。それより前に 11 で割り切れる数はないので、はじめては 8 秒後です。

（答）　8 秒後

KRONE ポイント

規則的に変わる数は、先に作った表を上から確かめる だけで割り切れる数が見つかります。毎回ゼロから書き出さず、1 枚の表を使い回すのがコツです。

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問題 3 （3）

3 けたの数の各位の数字がすべて異なるのは，スイッチを入れてから 10 秒間に何回あるか求めなさい。

答え・解説を見る

表の 1 〜 10 秒後を見て、各位の 3 つの数字がすべて異なるものを数えます。1 〜 10 秒後の表示は

$$532, ~ 153, ~ 514, ~ 135, ~ 551, ~ 112, ~ 533, ~ 154, ~ 515, ~ 131$$

このうち 3 つともちがうのは、532・153・514・135・154 の 5 回 です（551・112・533・515・131 はどれも同じ数字を 2 つふくむので除きます）。

（答）　5 回

KRONE ポイント

「すべて異なる」を数える問題も、作った表の中から拾うだけ。同じ数字が混じっていないかを 1 つずつ確かめると、数えもれが防げます。

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問題 3 （4）

はじめて 3 けたの数の各位の数字がすべてそろうのは，スイッチを入れてから何秒後か求めなさい。

答え・解説を見る

各位がすべて同じ数字（ぞろ目）になる秒を、表から探します。30 個の中でぞろ目になっているのは、29 秒後の 555 と 30 秒後の 111 の 2 つだけです。早いのは 29 秒後なので、はじめてそろうのは 29 秒後です。

なぜ 1 と 5 だけがそろうのかというと、3 つの位に共通して出る数字が 1 と 5 しかないからです。表を見ると、ぞろ目は確かにこの 2 か所にしか現れません。

（答）　29 秒後

KRONE ポイント

ぞろ目になるのは 各位に共通して出る数字 がそろう瞬間。共通する数字は 1 と 5 だけなので、表のぞろ目も 2 か所だけ。表を作っておけば、探すだけで早い方が選べます。

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問題 3 （5）

3 けたの数が 111 となるのは，スイッチを入れてから 30 秒後，60 秒後，90 秒後，…となる。その理由を答えなさい。

答え・解説を見る

これは、はじめに作った表が 30 秒で 1 周する ことそのものの理由です。111 になるには百・十・一の位がすべて 1 でなければなりません。

百の位は 5・1 の 2 つ周期 で、1 になるのは偶数秒後。十の位は 3・5・1 の 3 つ周期 で、1 になるのは 3 の倍数の秒後。一の位は 2・3・4・5・1 の 5 つ周期 で、1 になるのは 5 の倍数の秒後。3 つが同時に 1 になるのは、2 と 3 と 5 の 最小公倍数 の秒後です。

$$2 \text{と} 3 \text{と} 5 \text{の最小公倍数} = 30$$

だから 30 の倍数の秒後、つまり 30 秒後・60 秒後・90 秒後・… に 111 が表示されます。表が 30 秒ごとにくり返す（31 秒後 ＝ 1 秒後）のも、これと同じ理由です。

（答）　百の位・十の位・一の位が 1 になる周期がそれぞれ 2・3・5 で、3 つが同時に 1 になるのは 2・3・5 の最小公倍数の 30 の倍数の秒後だから。

KRONE ポイント

複数のくり返しが 同時にそろう タイミングは、周期の最小公倍数で決まります。2・3・5 の最小公倍数 30 が、3 つの位がそろう周期であり、表全体が 1 周する周期でもあります。

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この問題から学ぶこと

この大問が教えてくれるのは、各位がばらばらの周期でくり返す問題でも、周期の最小公倍数のぶんだけ書き出せば、あとはそれがくり返す群数列になる ということです。

• まず各部分の周期を確かめ、その 最小公倍数 が全体の 1 周期になる
• 1 周期ぶん（この問題では 30 個）を書き出してしまえば、表 1 枚ですべての問いに答えられる
• 割り切れる・ぞろ目・すべて異なる、どれも表から探すだけ
• 何十秒・何百秒先も、30 で割った余りを見れば同じ表の中の数に対応する

一つずつ書き出すのは大変に見えますが、1 周期ぶんで止めてよい と気づくと、ぐっと見通しがよくなります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では、周期の問題を、まず数項を書き出して「何個でくり返すか」を自分の目で見つけ、どこまで書けば 1 周するか（最小公倍数） を見きわめる練習から指導しています。

公式やパターンを丸暗記させるのではなく、自分の手で 1 周期ぶんを書き出して確かめた経験を土台にすること。「ここで止めてよい」と自分で判断できる力こそ、初めて見る問題にも立ち向かえる力になると考えています。

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クローネ学園では、規則性・周期の個別指導を行っています。 無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。