【数Ⅲ】合成関数の微分を「全体×中身」で解く｜逆関数・陰関数・媒介変数まで一本で

この記事について

数Ⅲの微分でいちばん使うのに，いちばんつまずきやすいのが合成関数の微分です。$\sqrt{\phantom{x}}$ の中や $\sin$，$\log$，$e$ の中に式が入っているだけで手が止まる。逆関数・陰関数・媒介変数まで来ると，「$\frac{dy}{dx}$ ってどう出すんだっけ」と混乱しがちです。

けれども，これらはすべてたった一つのリズムでつながっています。

「全体を微分して，中身の微分をかける」。この一言だけで，多項式・累乗根・三角・対数・指数の微分から，逆関数・陰関数・媒介変数，対数微分法までを一本で処理できます。この記事では，そのリズムを一つずつ体に入れていきます。

• 合成関数の微分の基本（多項式・累乗根・積や商との組み合わせ）
• 三角・対数・指数の中に式が入るとき
• 逆関数・陰関数・媒介変数（ここで「$y$ は $x$ の関数」という見方が主役になります）
• 対数微分法（複雑な積・商・べきを $\log$ でほどく）

各テーマのあとに確認演習をつけました。

この記事でいちばん伝えたいこと

とくに伝えたいのは，逆関数・陰関数でカギになる「$y$ を $x$ の関数とみる」という見方の，その理由です。「なぜ $y$ を $x$ の関数として微分してよいのか」——ここが腑に落ちると，$y^2$ を微分すると $2y\cdot\frac{dy}{dx}$ になる理由も，逆関数の $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$ も，すべて合成関数の「全体×中身」の一言に戻ります。後半でじっくり説明します。

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合成関数の微分：まず「全体×中身」を体にいれる

やることは 2 つだけです。

1. 中身（$g(x)$）をひとかたまりと思って，外側（全体）を微分する
2. そこに中身の微分をかける

まず多項式の例で。

$$y=(2-3x^3)^5$$

外側は $(\ )^5$，中身は $2-3x^3$ です。全体を微分して $5(2-3x^3)^4$，中身を微分して $-9x^2$，かけると，

$$\begin{aligned} y'&=\underbrace{5(2-3x^3)^4}_{\text{全体の微分}}\times\underbrace{(-9x^2)}_{\text{中身の微分}}\\ &=-45x^2(2-3x^3)^4 \end{aligned}$$

次は累乗根。数Ⅲでは $\sqrt{\phantom{x}}$ を指数の形に直すのが鉄則です。

$$y=\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}=2(4-x^2)^{-\frac12}$$

外側 $2(\ )^{-\frac12}$ を微分して $2\cdot\left(-\frac12\right)(4-x^2)^{-\frac32}$，中身 $4-x^2$ を微分して $-2x$。かけて整理すると，

$$\begin{aligned} y'&=2\cdot\left(-\frac12\right)(4-x^2)^{-\frac32}\times(-2x)\\[4pt] &=2x(4-x^2)^{-\frac32}\\[12pt] &=\frac{2x}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}} \end{aligned}$$

積や商とまざっても，合成関数の部分だけを「全体×中身」で処理すればよいだけです。

$$y=(x^2-4)\sqrt{1-x^2}$$

積の微分（前微分×後 ＋ 前×後微分）で書き，後半の $\sqrt{1-x^2}$ を合成関数として微分します。

$$\begin{aligned} y'&=2x\sqrt{1-x^2}+(x^2-4)\cdot\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\\[12pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\bigl\{\,2x(1-x^2)-(x^2-4)x\,\bigr\}\\[12pt] &=\frac{-3x^3+6x}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}$$

確認演習1

次の関数を微分しなさい。

• （1）$y=\sin(3x+1)$
• （2）$y=e^{2-3x}$

答え・解説を見る

どちらも「全体を微分して中身の微分をかける」だけです。

（1）外側 $\sin(\ )$ を微分して $\cos(3x+1)$，中身 $3x+1$ を微分して $3$。

$$y'=\cos(3x+1)\times 3=3\cos(3x+1)$$

（2）外側 $e^{(\ )}$ を微分しても $e^{(\ )}$ のまま，中身 $2-3x$ を微分して $-3$。

$$y'=e^{2-3x}\times(-3)=-3e^{2-3x}$$

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三角・対数・指数の中に式が入るとき

素の導関数さえ覚えていれば，中身に式が入っても「中身の微分をかける」だけです。まず素の形を確認します。

三角関数の中に関数が入る例。$y=\tan(\cos x)$ は，外側 $\tan(\ )$，中身 $\cos x$ です。

$$y'=\frac{1}{\cos^2(\cos x)}\times(-\sin x)=\frac{-\sin x}{\cos^2(\cos x)}$$

対数の中に式が入る例。$y=\log(x^2+1)$ は，$(\log x)'=\frac1x$ より，

$$y'=\frac{1}{x^2+1}\times 2x=\frac{2x}{x^2+1}$$

底が $e$ でない対数は，底の変換で $\log$（自然対数）にそろえると，あとは同じです。$y=\log_2|3x+2|$ なら，

$$y=\frac{\log|3x+2|}{\log 2}\ \Longrightarrow\ y'=\frac{1}{\log 2}\times\frac{1}{3x+2}\times 3=\frac{3}{(3x+2)\log 2}$$

指数の中に式が入る例。$y=2^{2x+1}$ は $(a^x)'=a^x\log a$ に中身の微分をかけて，

$$y'=2^{2x+1}\log 2\times 2=2^{2x+2}\log 2$$

確認演習2

次の関数を微分しなさい。

• （1）$y=\log(x^2+1)$
• （2）$y=e^{2x}\cos 3x$

答え・解説を見る

（1）$(\log x)'=\frac1x$ に中身 $x^2+1$ の微分 $2x$ をかけて，

$$y'=\frac{1}{x^2+1}\times 2x=\frac{2x}{x^2+1}$$

（2）積の微分です。$e^{2x}$ は合成関数なので微分すると $2e^{2x}$，$\cos 3x$ は微分すると $-3\sin 3x$。

$$\begin{aligned} y'&=2e^{2x}\cos 3x+e^{2x}\cdot(-3\sin 3x)\\ &=e^{2x}(2\cos 3x-3\sin 3x) \end{aligned}$$

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「$y$ は $x$ の関数」という見方 ── なぜそう言えるのか

ここから，逆関数・陰関数・媒介変数に入ります。この 3 つに共通するカギが，

$y$ を「$x$ の関数」とみなす

という見方です。ところが，多くの人がここでつまずきます。「$x^2+y^2=4$ みたいな式で，どうして $y$ を $x$ の関数として微分していいの？」と。まずこの「なぜ」を解決しておきます。

関数とは「$x$ を入れると $y$ が返ってくる装置」

そもそも関数とは，「$x$ を 1 つ決めると，$y$ が 1 つ決まる」という対応のことでした。$y=2x+1$ なら，$x=3$ を入れると $y=7$ が返ってくる。この「入れると返ってくる装置がある」ことが関数の正体です。

ここで大事なのは，$y=(x\text{の式})$ の形で書けているかどうかは，関係ないということです。式で書けていなくても，「$x$ を決めれば $y$ が決まる」という対応さえあれば，$y$ は立派に $x$ の関数です。

陰関数：式で書けていなくても「装置」はある

$x^2+y^2=4$ は，原点中心・半径 $2$ の円です。この式は $y=(x\text{の式})$ の形にはなっていません。でも，円の上半分だけを見てください。$x$ を 1 つ決めると，その上半分の $y$ が 1 つ決まります。$x=0$ なら $y=2$，$x=1$ なら $y=\sqrt3$，というふうに。

つまり，$y$ は「まだ $x$ の式で書けていないだけ」で，$x$ から定まる中身を持っています。だから $y$ を $y(x)$ と書いてよく，$x$ の関数として微分できるのです。「$y=(x\text{の式})$ に直せないと微分できない」わけではありません。装置があれば，それでいい。

だから $y^2$ の微分は「全体×中身」になる

$y$ が「$x$ の関数（中身）」だと認めた瞬間，$y^2$ は合成関数になります。

• 全体：（　）$^2$ という 2 乗
• 中身：$y$（＝ $x$ の関数）

合成関数の微分「全体を微分して中身の微分をかける」を，そのまま当てはめるだけです。

$2y$ で止めてしまい，$\frac{dy}{dx}$ をかけ忘れる——これが陰関数の微分で最も多いミスです。でも見方はシンプルで，$y$ が中身の位置に来ただけの合成関数。かけ忘れは「中身の微分を忘れた」だけなのです。

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陰関数の微分：両辺を $x$ で微分する

見方が決まれば，あとは機械的です。$f(x,y)=0$ の形の式は，両辺をそのまま $x$ で微分し，$y$ の項には合成関数の「中身の微分 $\frac{dy}{dx}$」をつけ，最後に $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$(x-1)^2+y^2=4$$

両辺を $x$ で微分します。$y^2$ の微分が $2y\frac{dy}{dx}$ になるのがポイントです。

$$2(x-1)+2y\frac{dy}{dx}=0\ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x-1}{y}\quad(\text{ただし }y\neq0)$$

もう一つ，$xy$ の項がある例。$xy$ は積の微分（$x$ と $y$ の積）で処理し，$y$ を微分するところで $\frac{dy}{dx}$ が出ます。

$$x^2-2xy+3y^2=1$$ $$\begin{aligned} 2x-2\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+6y\frac{dy}{dx}&=0\\[14pt] 2x-2y-2x\frac{dy}{dx}+6y\frac{dy}{dx}&=0\\[14pt] -2(x-3y)\frac{dy}{dx}&=-2(x-y) \end{aligned}$$ $$\therefore\ \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x-3y}\quad(\text{ただし }x-3y\neq0)$$

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逆関数の微分：向きを変えて微分する

逆関数の微分も，土台は同じ「$y$ は $x$ の関数」です。ただし，与えられた式が $x=(y\text{の式})$ の向きで書かれているとき，その向きのまま $\frac{dx}{dy}$ を先に求め，逆数をとって $\frac{dy}{dx}$ にします。

なぜ逆数でよいのか。$x$ を決めれば $y$ が決まり，逆に $y$ を決めれば $x$ が決まる——同じ対応を逆向きに見ているだけなので，変化の割合 $\frac{dy}{dx}$ と $\frac{dx}{dy}$ はちょうど逆数の関係になります。$x=(y\text{の式})$ の形なら $\frac{dx}{dy}$ のほうが計算しやすいので，そちらを出して逆数にするわけです。

$$x=y^2-2y$$

$y$ で微分すると $\frac{dx}{dy}=2y-2=2(y-1)$。逆数をとって，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2(y-1)}\quad(\text{ただし }y\neq1)$$

$y^2=3x+1$ のように陰関数の形で来ても，$x=\frac13(y^2-1)$ と向きを変えて $\frac{dx}{dy}$ を出せば同じです。

$$\frac{dx}{dy}=\frac{2}{3}y\ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{2}{3}y}=\frac{3}{2y}\quad(\text{ただし }y\neq0)$$

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媒介変数の微分：$t$ という「つなぎ役」

$x$ も $y$ も媒介変数 $t$ で表されているときは，$t$ をつなぎ役にして微分をつなぎます。

$y$ を $t$ で微分したものを，$x$ を $t$ で微分したもので割るだけ。$t$ を消去して $x$ と $y$ の式に直す必要はありません。

$$x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{2t}{1+t^2}$$

それぞれ $t$ で微分すると（商の微分），

$$\frac{dx}{dt}=\frac{-4t}{(1+t^2)^2},\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{-2t^2+2}{(1+t^2)^2}=\frac{-2(t+1)(t-1)}{(1+t^2)^2}$$

割ると，$(1+t^2)^2$ が消えて，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-2(t+1)(t-1)}{-4t}=\frac{(t+1)(t-1)}{2t}\quad(\text{ただし }t\neq0)$$

$\sqrt{\phantom{x}}$ を含む例も同じです。$x=\sqrt{1+t^2},\ y=3t^2$ なら $\frac{dx}{dt}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$，$\frac{dy}{dt}=6t$ で，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{6t}{\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}}=6\sqrt{1+t^2}$$

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対数微分法：複雑な積・商・べきを $\log$ でほどく

最後に，合成関数の見方が最も効く場面を一つ。積・商・累乗根が入り組んだ式は，先に両辺の対数をとってから微分すると，一気にほどけます。

$$y=\sqrt[3]{\frac{2x+1}{x(x-2)^2}}$$

このまま商と累乗根で微分するのは大変です。両辺の（絶対値の）対数をとり，$\log$ の性質で積・商・べきを足し算・引き算にばらします。

$$\log|y|=\frac13\Bigl(\log|2x+1|-\log|x|-2\log|x-2|\Bigr)$$

両辺を $x$ で微分します。ここが山場で，左辺 $\log|y|$ は $y$ が中身の合成関数なので，$\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}$ になります（また「中身の微分」が出てきました）。

$$\frac{1}{y}\cdot y'=\frac13\left(\frac{2}{2x+1}-\frac1x-\frac{2}{x-2}\right)$$

右辺を通分して整理し，最後に $y$ を戻すと，

$$y'=-\frac{4x^3+3x-2}{3x(x-2)\sqrt[3]{x(x-2)^2(2x+1)}}$$

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この記事から学ぶこと

一本の背骨は，最初に置いた「全体を微分して，中身の微分をかける」だけでした。

場面	何を「中身」とみるか	かけ忘れやすいもの
$\sqrt{\ }$・$\sin$・$\log$・$e$ の中に式	中身の式	中身の微分
陰関数（$y$ の項）	$y$（＝ $x$ の関数）	$\frac{dy}{dx}$
逆関数	$y$ を変数にして $x$ を微分	逆数にすること
媒介変数	$x,y$ ともに $t$ の関数	$\frac{dx}{dt}$ で割ること
対数微分法（$\log	y	$）

逆関数・陰関数・対数微分法で「中身」の位置に来るのは，いつも $y$ です。そして $y$ を $x$ の関数とみてよい理由は，「$x$ を決めれば $y$ が決まる」対応（装置）があるからでした。式で書けているかどうかは関係ありません。この一点さえ押さえれば，$y$ を触るたびに $\frac{dy}{dx}$ がくっついてくる理由が，合成関数の「中身の微分」そのものだと見えてきます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，数Ⅲの微分を「公式の数だけ暗記」させません。合成関数の微分（全体×中身）を背骨に据え，逆関数・陰関数・媒介変数・対数微分法をその応用として一本につなぎます。とくに，受験生がいちばん落とす「陰関数で $\frac{dy}{dx}$ をかけ忘れる」ミスは，$y$ を $x$ の関数とみる理由が曖昧なまま公式だけ覚えているのが原因です。クローネ学園では，この「なぜ」を最初に解決してから演習に入るので，はじめて見る形でも自分で立式できるようになります。

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