【数Ⅲ】微分公式の総まとめ｜積・商・合成関数・媒介変数を1つの土台で覚える

この記事について

数Ⅲの微分は，公式が一気に増えます。積の微分・商の微分・合成関数・媒介変数……と並ぶと，「どれをいつ使うのか」「こんなに覚えられない」と感じた人も多いはずです。

けれども，これらはバラバラの公式ではありません。ほとんどが「合成関数の微分（連鎖律）」という一つの土台から派生したものです。この記事では，数Ⅲの微分公式を連鎖律を背骨にして一本につなぎ，覚える量を減らす整理をします。

• 基本（$x^n$・定数倍・和差）
• 積の微分・商の微分
• 合成関数の微分（連鎖律）＝この記事の背骨
• 三角・指数・対数・累乗根の導関数
• 媒介変数で表された関数の微分

各テーマのあとに確認演習をつけました。

この記事でいちばん伝えたいこと

伝えたいのは，「数Ⅲの微分の大半は，連鎖律 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ の言い換えにすぎない」ということです。

• $\sqrt{\ }$ や $\sin$，$\log$ の中身に式が入る → 連鎖律（外側を微分して内側の微分をかける）
• 媒介変数 $t$ で表される → 連鎖律を $t$ という橋でつなぐ

公式を $10$ 個暗記するのではなく，連鎖律を $1$ つ完璧にして「外側を微分→内側の微分をかける」というリズムを身につける。これが本質です。

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基本：まずここから

$x^n$ の微分（指数を前に下ろして，指数を $1$ 減らす）と，定数倍・和差はそのまま分けて微分できる。ここは数Ⅱの復習です。$n$ が負の数や分数でも，この公式は成り立ちます。

$$\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\qquad (\sqrt{x})'=\left(x^{\frac12}\right)'=\frac12x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

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積の微分・商の微分

$2$ つの関数の積や商は，そのまま「それぞれ微分してかける／割る」ことはできません。専用の公式を使います。

積は「前を微分×後ろ＋前×後ろを微分」，商は「（上を微分×下−上×下を微分）÷下の $2$ 乗」。商はマイナスの順序（上の微分が先）と，分母の $2$ 乗を忘れないことが急所です。

例題1-1

$y=x^2\sin x$ を微分しなさい。

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積の微分です。$f=x^2,\ g=\sin x$ とおくと $f'=2x,\ g'=\cos x$。

$$y'=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$$

（答）$y'=2x\sin x+x^2\cos x$

例題1-2

$y=\dfrac{x}{x^2+1}$ を微分しなさい。

答え・解説を見る

商の微分です。$f=x,\ g=x^2+1$ とおくと $f'=1,\ g'=2x$。

$$y'=\frac{(x)'(x^2+1)-x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} =\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$

（答）$y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

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背骨：合成関数の微分（連鎖律）

ここがこの記事の中心です。$\sqrt{x^2+1}$ や $\sin 3x$ のように，関数の中に別の関数が入っている（合成されている）とき，連鎖律を使います。

言葉にすると，「外側の関数を微分して，内側の関数の微分をかける」。$\sqrt{x^2+1}$ なら，外側は $\sqrt{\ }$，内側は $x^2+1$。外側 $\sqrt{u}$ を微分して，内側 $x^2+1$ の微分をかける，という二段構えです。

なぜかけ算になるのか，イメージで押さえましょう。$x$ が少し動くと，まず内側 $u=g(x)$ がその $\dfrac{du}{dx}$ 倍だけ動く。その $u$ の動きを受けて，外側 $y=f(u)$ が $\dfrac{dy}{du}$ 倍だけ動く。「$x$→$u$ の変化率」と「$u$→$y$ の変化率」を掛け合わせると，「$x$→$y$ の変化率」になる——これが連鎖律の正体です。

例題2-1

$y=(2x-3)^5$ を微分しなさい。

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外側は $(\ )^5$，内側は $2x-3$。$u=2x-3$ とおくと $y=u^5$。

外側を微分：$\dfrac{dy}{du}=5u^4=5(2x-3)^4$。内側を微分：$\dfrac{du}{dx}=2$。かけて，

$$\frac{dy}{dx}=5(2x-3)^4\cdot 2=10(2x-3)^4$$

（答）$y'=10(2x-3)^4$

例題2-2

$y=\sqrt{x^2+1}$ を微分しなさい。

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$\sqrt{\ }$ は $\dfrac12$ 乗。外側 $u^{\frac12}$，内側 $u=x^2+1$。

外側を微分：$\dfrac{dy}{du}=\dfrac12u^{-\frac12}=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$。内側を微分：$\dfrac{du}{dx}=2x$。かけて，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

（答）$y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

KRONE ポイント

根号は $\dfrac12$ 乗に直してから連鎖律。$\left(\sqrt{\text{中身}}\right)'=\dfrac{(\text{中身})'}{2\sqrt{\text{中身}}}$ と公式化して覚えてもよいですが，元は連鎖律です。

確認演習2

次の関数を微分しなさい。

• （1）$y=(3x^2+1)^4$
• （2）$y=\dfrac{1}{x^2+2}$

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（1）外側 $u^4$，内側 $u=3x^2+1$。$\dfrac{dy}{du}=4u^3$，$\dfrac{du}{dx}=6x$。

$$y'=4(3x^2+1)^3\cdot 6x=24x(3x^2+1)^3$$

（2）$y=(x^2+2)^{-1}$ とみる。外側 $u^{-1}$，内側 $u=x^2+2$。$\dfrac{dy}{du}=-u^{-2}$，$\dfrac{du}{dx}=2x$。

$$y'=-(x^2+2)^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^2+2)^2}$$

（答）（1）$24x(3x^2+1)^3$　（2）$-\dfrac{2x}{(x^2+2)^2}$

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各関数の導関数も「外側」として使う

三角・指数・対数の導関数は，連鎖律の「外側」として使う部品です。まず素の形を押さえます。

これらの「中身」に式が入ったら，連鎖律で内側の微分をかけるだけです。

関数	微分	仕組み
$\sin(\text{中身})$	$\cos(\text{中身})\times(\text{中身})'$	外側 $\sin$→$\cos$，内側の微分をかける
$e^{\text{中身}}$	$e^{\text{中身}}\times(\text{中身})'$	外側 $e$ はそのまま，内側の微分をかける
$\log(\text{中身})$	$\dfrac{(\text{中身})'}{\text{中身}}$	外側 $\log$→$\dfrac1{\text{中身}}$，内側の微分をかける

例題3-1

$y=\sin 3x$，$y=e^{x^2}$，$y=\log(2x+1)$ をそれぞれ微分しなさい。

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すべて「外側を微分→内側の微分をかける」。

$$(\sin 3x)'=\cos 3x\cdot(3x)'=3\cos 3x$$$$(e^{x^2})'=e^{x^2}\cdot(x^2)'=2xe^{x^2}$$$$\{\log(2x+1)\}'=\frac{(2x+1)'}{2x+1}=\frac{2}{2x+1}$$

（答）$3\cos 3x$，$\ 2xe^{x^2}$，$\ \dfrac{2}{2x+1}$

KRONE ポイント

三角・指数・対数の微分は，連鎖律の「外側」にすぎません。素の導関数（$\sin\to\cos$ など）さえ覚えれば，中身に式が入っても「内側の微分をかける」を足すだけ。覚える公式が激減します。

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媒介変数で表された関数の微分

$x$ も $y$ も，共通の変数 $t$（媒介変数）で表されることがあります。このときも，$t$ を消去して $x,y$ の式に直す必要はありません。$t$ を橋にして微分をつなぐ——これも連鎖律の仲間です。

$y$ を $t$ で微分したものを，$x$ を $t$ で微分したもので割る。「$t$ で揃えてから割る」と覚えます。

例題4-1

$x$ の関数 $y$ が媒介変数 $t$ を用いて次のように表されるとき，$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表しなさい。

• （1）$x=\dfrac{t}{t^2+1}$，$\ y=\dfrac{t^2}{t^2+1}$
• （2）$x=\sqrt{t^2+1}$，$\ y=t^3$

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それぞれ $x,y$ を $t$ で微分してから割ります。

(1) $\dfrac{dx}{dt}$ は商の微分で，

$$\frac{dx}{dt}=\frac{(t)'(t^2+1)-t(t^2+1)'}{(t^2+1)^2} =\frac{(t^2+1)-t\cdot 2t}{(t^2+1)^2}=\frac{1-t^2}{(t^2+1)^2}$$$$\frac{dy}{dt}=\frac{(t^2)'(t^2+1)-t^2(t^2+1)'}{(t^2+1)^2} =\frac{2t(t^2+1)-t^2\cdot 2t}{(t^2+1)^2}=\frac{2t}{(t^2+1)^2}$$

割って（$t\neq\pm1$ のとき），

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\ \dfrac{2t}{(t^2+1)^2}\ }{\dfrac{1-t^2}{(t^2+1)^2}}=\frac{2t}{1-t^2}$$

(2) $\dfrac{dx}{dt}$ は $\sqrt{\ }$ の連鎖律で，

$$\frac{dx}{dt}=\left\{(t^2+1)^{\frac12}\right\}'=\frac12(t^2+1)^{-\frac12}(t^2+1)'=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$$$$\frac{dy}{dt}=(t^3)'=3t^2$$

$t\neq0$ のとき，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\ 3t^2\ }{\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}}=3t^2\cdot\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}=3t\sqrt{t^2+1}$$

（答）（1）$\dfrac{2t}{1-t^2}$　（2）$3t\sqrt{t^2+1}$

KRONE ポイント

媒介変数の微分は「$t$ で微分して割るだけ」。$x,y$ を $t$ で微分するときに，商の微分（(1)）や $\sqrt{\ }$ の連鎖律（(2)）が顔を出します。つまりここでも，前半で身につけた公式の組み合わせなのです。

確認演習4

$x=2t^2+1$，$\ y=t^3$ のとき，$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表しなさい。

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$\dfrac{dx}{dt}=4t$，$\dfrac{dy}{dt}=3t^2$。$t\neq0$ のとき，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{4t}=\frac{3t}{4}$$

（答）$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{4}$

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逆関数の微分

$y$ を $x$ で微分するのが難しくても，逆に $x$ を $y$ で微分するのは簡単，という場合があります。そのときは，$\dfrac{dx}{dy}$ を求めて逆数をとるだけで $\dfrac{dy}{dx}$ が出ます。

なぜ逆数でよいのか。$\dfrac{dy}{dx}$ と $\dfrac{dx}{dy}$ は，「$x$ が動くと $y$ がどれだけ動くか」と「$y$ が動くと $x$ がどれだけ動くか」を表す，互いに逆向きの変化率です。だから掛けると $1$ になり，一方は他方の逆数になります。これも連鎖律の身近な現れです。

例題5-1

$y=\sqrt[3]{x}$ を，逆関数の微分を使って微分しなさい。

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$y=\sqrt[3]{x}$ の両辺を $3$ 乗すると $x=y^3$。これは $x$ を $y$ で微分するのが簡単な形です。

$$\frac{dx}{dy}=3y^2$$

逆数をとって，$y=x^{\frac13}$ を戻すと，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3\left(x^{\frac13}\right)^2}=\frac{1}{3x^{\frac23}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

（答）$y'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

$\left(x^{\frac13}\right)'=\dfrac13x^{-\frac23}$ と，$(x^n)'=nx^{n-1}$ で直接計算した結果と一致します。「$x=$（$y$ の式）に直して逆数」が逆関数の微分の使いどころです。

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陰関数の微分

$x^2+y^2=1$ のように，$y=$（$x$ の式）の形に解けていない（$x$ と $y$ が混ざった）式を陰関数といいます。これも $y$ について解かずに $\dfrac{dy}{dx}$ を求められます。

なぜ「$y$ を $x$ の関数」とみてよいのか

その前に，多くの人がつまずく根本を押さえます。陰関数の微分では「$y$ を $x$ の関数とみて微分する」と言われますが，そもそもなぜ $y$ を $x$ の関数とみてよいのでしょうか。

カギは，$x^2+y^2=1$ という式そのものにあります。この式は，$x$ と $y$ がてんでバラバラに動けるのではなく，たがいに結びついていることを表しています。試しに $x$ の値を一つ決めてみましょう。$x=0$ を代入すると $y^2=1$ となり $y=\pm1$，$x=\dfrac35$ を代入すると $y^2=\dfrac{16}{25}$ で $y=\pm\dfrac45$……というように，$x$ の値を決めれば，それに応じて $y$ の値が決まります。

つまり $x^2+y^2=1$ という式は，「$y=$（$x$ の式）」とはっきり書かれていないだけで，$x$ を入れれば $y$ が定まる関係を，式の中に隠し持っているのです。だから $y$ は $x$ の関数とみなせる——これが「陰関数」（関数関係が陰に隠れている）という名前の由来であり，$x$ で微分できる理由です。

この見方さえ受け入れれば，あとは機械的です。コツは，$y$ を「$x$ の関数」とみて，両辺を $x$ で微分すること。このとき $y$ の式は連鎖律で微分します。

たとえば $y^2$ を $x$ で微分すると，外側 $(\ )^2$ を微分して $2y$，内側 $y$ の微分 $\dfrac{dy}{dx}$ をかけて $2y\dfrac{dy}{dx}$ となります。ここでも効いているのは連鎖律です。

例題6-1

$x^2+y^2=1$ のとき，$\dfrac{dy}{dx}$ を $x,\ y$ で表しなさい。

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両辺を $x$ で微分します。$y$ は $x$ の関数とみて連鎖律で。

$$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(1)$$$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

$\dfrac{dy}{dx}$ について解いて，

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\qquad(y\neq0)$$

（答）$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$

KRONE ポイント

陰関数は $y$ について解かない。$y$ を $x$ の関数とみて両辺を $x$ で微分し，$y$ の項は連鎖律で $\dfrac{dy}{dx}$ が付く。最後に $\dfrac{dy}{dx}$ について解く，の $3$ ステップです。

確認演習6

$x^2+xy+y^2=3$ のとき，$\dfrac{dy}{dx}$ を $x,\ y$ で表しなさい。

答え・解説を見る

両辺を $x$ で微分します。左辺は $3$ つの項 $x^2$，$xy$，$y^2$ に分かれているので，一つずつ微分していきます。ここで終始忘れてはいけないのは，$y$ は「$x$ の関数」だということ。だから $y$ を微分すると $\dfrac{dy}{dx}$ が顔を出します。これが陰関数微分のすべての出発点です。

第1項 $x^2$　ふつうに $x$ で微分するだけ。

$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$

第2項 $xy$　$x$ と $y$ の積なので，積の微分「前を微分×後＋前×後を微分」を使います。「前」$=x$，「後」$=y$。$y$ を $x$ で微分すると $\dfrac{dy}{dx}$ なので，

$$\frac{d}{dx}(xy)=(x)'\cdot y+x\cdot(y)'=1\cdot y+x\cdot\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}$$

ここが陰関数微分の急所です。$xy$ を「定数×$x$」のように $y$ だけ微分し忘れると間違えます。$y$ も $x$ の関数だから，積の微分がまるごと必要なのです。

第3項 $y^2$　なぜこれが合成関数なのか。思い出してください，$y$ は $x$ の関数，つまり中身が $x$ の式でした。だから $y^2$ は「（$x$ の式）を $2$ 乗したもの」という，$2$ 段重ねの形をしています。

たとえば仮に $y=x^2+1$ だったとすると $y^2=(x^2+1)^2$。これは「外側に $2$ 乗，内側に $x^2+1$」の合成関数そのものですね。$y$ が具体的に何かは分からなくても，$y^2$ が「外側 $2$ 乗・内側 $y$（中身は $x$ の式）」の合成だという構造は変わりません。

合成関数なので連鎖律「外側を微分→内側の微分をかける」を使います。外側 $(\ )^2$ を微分して $2y$，内側 $y$ の微分 $\dfrac{dy}{dx}$ をかけて，

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot\frac{dy}{dx}$$

右辺　定数 $3$ を微分すると $0$。

以上を足し合わせると，

$$2x+\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}=0$$

ここからは $\dfrac{dy}{dx}$ について解くだけです。$\dfrac{dy}{dx}$ を含む項（$x\dfrac{dy}{dx}$ と $2y\dfrac{dy}{dx}$）を左辺に，残り（$2x+y$）を右辺に移します。

$$x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=-(2x+y)$$

左辺を $\dfrac{dy}{dx}$ でくくって，

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)$$

両辺を $x+2y$ で割って，

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\qquad(x+2y\neq0)$$

（答）$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$

KRONE ポイント

陰関数微分の急所は，$y$ を「$x$ の関数」と意識し続けること。$xy$ は積の微分で $y+x\dfrac{dy}{dx}$，$y^2$ は連鎖律で $2y\dfrac{dy}{dx}$。$y$ の入った項は必ず $\dfrac{dy}{dx}$ が付くと覚えておけば，あとは $\dfrac{dy}{dx}$ でくくって解くだけです。

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まとめ：連鎖律を背骨に，公式は一本につながる

• 基本：$(x^n)'=nx^{n-1}$。分数・根号は指数に直す
• 積：前微分×後＋前×後微分／商：（上微分×下−上×下微分）÷下²
• 合成関数（連鎖律）＝背骨：外側を微分→内側の微分をかける
• 三角・指数・対数：素の導関数を覚え，中身に式が入れば内側の微分をかける（連鎖律）
• 媒介変数：$t$ で微分して割る。$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
• 逆関数：$\dfrac{dx}{dy}$ が易しいなら逆数。$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy}$
• 陰関数：$y$ を $x$ の関数とみて両辺を $x$ で微分（$y$ の項は連鎖律）→ $\dfrac{dy}{dx}$ について解く

数Ⅲの微分公式は数が多く見えますが，大半は「外側を微分して内側の微分をかける」という連鎖律の言い換えです。連鎖律を $1$ つ完璧にすれば，残りはその応用として身につきます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，数Ⅲの微分を「公式の数だけ暗記」させません。合成関数の微分（連鎖律）を背骨に据え，そこから三角・指数・対数・媒介変数の微分をぶら下げて整理します。受験生がいちばん落としやすいのは，商の微分の符号と分母の $2$ 乗，そして合成関数で「内側の微分をかけ忘れる」点です。クローネ学園では，この急所を最初に潰してから演習に入ります。

微分は，このあと「接線・法線」「極大極小」「グラフの概形」「速度・加速度」へと土台になって効いてきます。公式を一本につないで身につけておきましょう。

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