【数Ⅲ】中間値の定理で「解の存在」を示す｜なぜ閉区間で連続が必要か・開区間の問題を閉区間で解く理由

この記事について

「方程式 $\dfrac{1}{x}-\log_2 x=0$ が解をもつことを示せ」——こう言われて，手が止まった経験はありませんか。解を求めよなら式変形すればいい。でも「解があることを示せ」と言われると，求められないのにどうやって示すんだ，と固まってしまう。中間値の定理が苦手な人の多くは，ここでつまずきます。

数Ⅲの中間値の定理は，まさにこの「解を求めずに，解があることだけを示す」ための道具です。$\dfrac{1}{x}-\log_2 x=0$ や $\cos x=x$ のように，式変形ではどうやっても解けない方程式でも，「この範囲に解が少なくとも $1$ つある」と証明できます。

手順そのものは難しくありません。難しいのは，多くの参考書が流してしまう次の $2$ つの「なぜ」です。

• なぜ「閉区間で連続」という条件が必要なのか
• 問題は「開区間 $a<x<b$ に解がある」と聞いているのに，なぜ閉区間 $[a,b]$ で解き進めてよいのか

この記事では，この $2$ つをグラフで腑に落としてから，証明の型と確認演習に進みます。

この記事でいちばん伝えたいこと

中間値の定理がやっているのは，たった一つのことです。「切れ目なくつながった線が，下から上へ移るなら，途中で必ず $0$ の高さを通る」——ただこれだけ。

• 「切れ目なく」を保証するのが連続の条件
• 「下から上へ」を保証するのが両端で異符号（$f(a)$ と $f(b)$ の符号が違う）の条件

この $2$ つがそろえば，線は必ず $x$ 軸を横切る。横切る点が「解」です。定理の文言を暗記するのではなく，この一枚の絵を持っておくことが本質です。

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中間値の定理とは

使い方の流れはいつも同じです。

ステップ	やること
1	方程式を $f(x)=0$ の形にして $f(x)$ を決める
2	区間の両端 $a,\ b$ を読み取る
3	$[a,\ b]$ で $f(x)$ が連続であることを述べる（条件①）
4	$f(a)$ と $f(b)$ を計算し，異符号であることを示す（条件②）
5	中間値の定理より「$a<x<b$ に解をもつ」と結論する

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なぜ「連続」が必要か

中間値の定理の前提は「閉区間 $[a,\ b]$ で連続」。この条件には「連続」と「閉区間（端点 $a,\ b$ を含む）」の $2$ つの要素があります。まずは「連続」がなぜ要るのかから見ます。

ここが最大の急所です。条件②（両端で異符号）だけでは，解があるとは言えません。つながっていること（連続）が抜けると，符号が違っても解を飛び越えてしまうからです。

• 左（連続）：$f(a)<0$ で下から始まり，$f(b)>0$ で上に着く。線が切れていないので，どんな描き方をしても必ず $x$ 軸（高さ $0$）を一度は通ります。その通過点が解です。
• 右（不連続）：両端の符号は同じく異符号なのに，途中に段差（ジャンプ）があります。線は $x$ 軸の手前で途切れ，段差の上から再開するので，$x$ 軸を一度も横切りません。＝解がない。

つまり「異符号」だけでは不十分で，「切れ目なくつながっている」＝連続があって初めて「必ず横切る」と言い切れます。これが「連続」が前提に要る理由です。ではなぜ「開区間 $(a,\ b)$」ではなく「閉区間 $[a,\ b]$」——端点 $a,\ b$ まで含めるのか。それを次に見ます。

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なぜ「閉区間」——端点まで含めるのが必要か

「連続」の次は，なぜ端点 $a,\ b$ を含めた閉区間でなければならないかです。これは前の「連続」とは別の理由で，混同しないように分けて押さえましょう。

理由は一言で言えば，定理が端点の値 $f(a),\ f(b)$ の符号を使うからです。端点 $a,\ b$ をきちんと含めて，そこでの値をグラフに乗せないと，「横切るかどうか」が変わってしまいます。

下の図を見てください。本来は $f(a)$ が正・$f(b)$ が負で，異符号だから「解があるはず」の状況です。ところが区間が $a$ を含まない（端が開いている）ために，$a$ での値 $f(a)$（$x$ 軸より上）がグラフから抜け落ちています。

すると区間の中に残るグラフは，$a$ のすぐ右（$x$ 軸より下）から始まって $b$ までずっと負のまま。$x$ 軸（$y=0$）を一度も横切らず，解があるはずなのに見つかりません。$x$ 軸を横切らせていた「正の側の端」が，$a$ を含めなかったせいで消えてしまったのです。

端点 $a,\ b$ まで含めて，そこでの値もグラフに乗せる——これが「閉区間」でなければならない理由です。「どうせ符号は分かる」のではなく，端点を含めないと横切る部分そのものが消えて，解を取りこぼすことがあるのです。

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型1：対数を含む方程式の解の存在を示す

例題1-1

方程式 $\dfrac{1}{x}-\log_2 x=0$ は，$1<x<2$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示しなさい。

答え・解説を見る

$f(x)=\dfrac{1}{x}-\log_2 x$ とおきます。

① 連続性　$\dfrac1x$ は $x\neq0$ で連続，$\log_2 x$ は $x>0$ で連続。よって $f(x)$ は $x>0$ で連続なので，$1\leqq x\leqq2$（閉区間）でも連続です。

② 両端の符号

$$f(1)=\frac{1}{1}-\log_2 1=1-0=1>0$$$$f(2)=\frac{1}{2}-\log_2 2=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}<0$$

$f(1)>0,\ f(2)<0$ で異符号です。

結論　$f(x)$ は $[1,\ 2]$ で連続，かつ $f(1)$ と $f(2)$ が異符号だから，中間値の定理より方程式 $\dfrac{1}{x}-\log_2 x=0$ は $1<x<2$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ。

（証明終）

KRONE ポイント

$\log_2 1=0$，$\log_2 2=1$ のような「きれいに値が出る端点」が選ばれているのがヒント。両端を代入して符号がパッと判定できる点を選ぶのが，この型のコツです。

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型2：三角関数を含む方程式の解の存在を示す

例題2-1

方程式 $\cos x=x$ は，$\dfrac{\pi}{6}<x<1$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示しなさい。

答え・解説を見る

まず $f(x)=0$ の形にします。$\cos x=x$ を移項して $f(x)=\cos x-x$ とおきます。

① 連続性　$\cos x$ も $x$ も実数全体で連続なので，$f(x)=\cos x-x$ は $\dfrac{\pi}{6}\leqq x\leqq1$（閉区間）で連続です。

② 両端の符号

$$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt3-\pi}{6}$$

ここで $3\sqrt3=5.19\cdots$，$\pi=3.14\cdots$ なので分子は正。よって $f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)>0$。

$$f(1)=\cos 1-1$$

$1$（ラジアン）は $0<1<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲にあり，この範囲で $\cos$ は減少して $\cos 0=1>\cos 1$ だから $\cos 1<1$。よって $f(1)=\cos1-1<0$。

$f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)>0,\ f(1)<0$ で異符号です。

結論　$f(x)$ は $\left[\dfrac{\pi}{6},\ 1\right]$ で連続，かつ両端が異符号だから，中間値の定理より方程式 $\cos x=x$ は $\dfrac{\pi}{6}<x<1$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ。

（証明終）

KRONE ポイント

$\cos x=x$ のように両辺に $x$ があるときは，必ず片側に寄せて $f(x)=\cos x-x$ の形にしてから $f(x)=0$ を作る。符号の判定では $3\sqrt3$ と $\pi$ の大小，$\cos1<\cos0=1$ のような評価がカギになります。

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前提は「$[a,\ b]$」なのに，なぜ結論は「$a<x<b$」なのか

ここまで $2$問を解いて，こんな引っかかりを覚えた人がいるかもしれません。どちらの問題でも，連続を確かめたのは閉区間 $[1,\ 2]$ や $\left[\dfrac{\pi}{6},\ 1\right]$（端を含む）なのに，結論は「$1<x<2$」「$\dfrac{\pi}{6}<x<1$」（端を含まない開区間）に解をもつ，と書いた——なぜ区間がすり替わるのか，と。

これは定理の文言どおりです。前提①は端点を含む $[a,\ b]$ で連続，結論は端を含まない $a<x<b$ に解をもつ。端点まで含めて考えたのに，なぜ解の居場所は端を外した開区間なのか？ ここに矛盾はないのか。答えは「矛盾しない」。

理由は，解が端点には来ないから。条件②より $f(a)$ と $f(b)$ は異符号，つまりどちらも $0$ ではありません。$f(a)\neq0,\ f(b)\neq0$ なので，$f(x)=0$ となる解 $x=c$ が端点 $a$ や $b$ になることはありえない。だから解は必ず端点を除いた開区間 $(a,\ b)$ の内側に入ります。

端点を含めて連続を確かめるのは「符号を語るため」，得られる解は端点に乗らないので「開区間の中」。閉区間で確かめることと，開区間に解があるという結論は，矛盾なく両立するのです。

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確認演習

確認演習1

方程式 $2^x=3-x$ は，$0<x<2$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示しなさい。

答え・解説を見る

$f(x)=2^x-(3-x)=2^x+x-3$ とおきます。

① 連続性　$2^x$ も $x$ も実数全体で連続なので，$f(x)$ は $[0,\ 2]$ で連続。

② 両端の符号

$$f(0)=2^0+0-3=1-3=-2<0$$$$f(2)=2^2+2-3=4+2-3=3>0$$

異符号です。

結論　$f(x)$ は $[0,\ 2]$ で連続，かつ $f(0)$ と $f(2)$ が異符号だから，中間値の定理より方程式 $2^x=3-x$ は $0<x<2$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ。

（証明終）

確認演習2

方程式 $x^3-3x+1=0$ は，$0<x<1$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示しなさい。

答え・解説を見る

$f(x)=x^3-3x+1$ とおきます。

① 連続性　多項式なので $f(x)$ は実数全体で連続。よって $[0,\ 1]$ でも連続。

② 両端の符号

$$f(0)=0-0+1=1>0$$$$f(1)=1-3+1=-1<0$$

異符号です。

結論　$f(x)$ は $[0,\ 1]$ で連続，かつ $f(0)$ と $f(1)$ が異符号だから，中間値の定理より方程式 $x^3-3x+1=0$ は $0<x<1$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ。

（証明終）

多項式は無条件で連続なので，連続性の確認が一番ラクな型です。両端の代入だけに集中できます。

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つまずきの急所と注意点

• 連続を書き忘れる：「$f(a),\ f(b)$ が異符号」だけ書いて，連続の一文を落とすと減点。$f(x)=0$ の根拠は連続＋異符号の両輪です。
• $f(c)=m$ となる $c$ がただ $1$ つとは限らない：中間値の定理が保証するのは「少なくとも $1$ つ」。解が複数あっても定理は何も矛盾しません（左の図でも，曲線がうねれば横切る回数は増えます）。
• 実数全体で連続でなくてよい：必要なのは対象の閉区間 $[a,\ b]$ での連続だけ。$\dfrac1x$ は $x=0$ で不連続ですが，$[1,\ 2]$ なら問題なく使えます。

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まとめ：中間値の定理は「連続＋異符号」の両輪

• 方程式を $f(x)=0$ にして，①閉区間で連続 ②両端で異符号 を示す → $a<x<b$ に解がある
• 連続が必要なわけ：切れ目があると，異符号でも段差で解を飛び越えるから（図で確認）
• 開区間の問題を閉区間で解けるわけ：端点では $f\neq0$ だから，解は端点に乗らず開区間の内側に入る
• 型1（対数）・型2（三角）・確認演習（指数・多項式）も，やることは同じ手順

「解を求める」のではなく「解があると言う」。この発想の切りかえができれば，中間値の定理の問題は手順を流すだけになります。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，中間値の定理を「証明の作法の暗記」ではなく，一枚のグラフ（切れ目のない線は下から上へ移るとき必ず $0$ を通る）として指導しています。手順は誰でもすぐ覚えられますが，「なぜ連続が必要か」「なぜ開区間の問題を閉区間で解けるのか」を絵で理解している生徒は，記述の一文を落としません。

この単元は，関数の連続性（$x^n$ の極限で定義された関数など）を土台に，方程式の解の個数・グラフの交点の議論へとつながります。連続性の考え方とセットで身につけておきましょう。$x^n$ の極限で定義された関数の連続性については【数Ⅲ】極限で定義された関数の連続性も参考にしてください。

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