【数Ⅲ】三角関数の極限｜$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$とはさみうちを解法パターン別に整理

この記事について

数Ⅲの三角関数の極限は，公式 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ ひとつを軸に，式をどう変形してこの形に持ちこむかで決まります。問題が多く見えても，使う手は数パターンしかありません。この記事では，三角関数の極限を解法の型ごとに整理します。

• 基本公式 $\dfrac{\sin x}{x}\to1$ とその仲間（$\tan x/x$ など）
• 係数をそろえる型（$\sin ax/\sin bx$ など）
• 置きかえる型（$x\to\infty$，$x\to\pi/2$ などを $x\to0$ に直す）
• $1-\cos x$ を有理化する型
• はさみうちの原理を使う型

各型のあとに確認演習をつけました。型を見抜く練習をしてみてください。

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基本公式

この公式を使うコツは，$\dfrac{\text{sin（中身）}}{\text{同じ中身}}$ の形を作ることです。中身と分母がそろえば，値は 1 になります。

まず，この公式から直接導ける仲間を確認します。

逆数の形

$$\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\dfrac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1$$

tan の形

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ なので，

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x} =\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\times\frac{1}{\cos x}\right) =1\times\frac{1}{1}=1$$

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型1：係数をそろえる

$\sin ax$ のように角度に係数がついたら，分母も同じ $ax$ にそろえて $\dfrac{\sin ax}{ax}\to1$ を作ります。

例題1-1

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}$ を求めなさい。

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分子は $3x$，分母は $7x$ でそろえ，つじつまを合わせる係数をかけます。

$$\frac{\sin 3x}{\sin 7x} =\frac{\dfrac{\sin 3x}{3x}}{\dfrac{\sin 7x}{7x}}\times\frac{3x}{7x}$$

$x\to0$ で $\dfrac{\sin 3x}{3x}\to1$，$\dfrac{\sin 7x}{7x}\to1$ なので，

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}=\frac{1}{1}\times\frac{3}{7}=\frac{3}{7}$$

（答）$\dfrac{3}{7}$

例題1-2

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{\tan 2x}$ を求めなさい。

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$\tan 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$ に直すと，

$$\frac{\sin 5x}{\tan 2x}=\frac{\sin 5x}{\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}} =\frac{\sin 5x}{\sin 2x}\times\cos 2x$$

それぞれ中身にそろえて，

$$=\frac{\dfrac{\sin 5x}{5x}}{\dfrac{\sin 2x}{2x}}\times\frac{5x}{2x}\times\cos 2x \longrightarrow \frac{1}{1}\times\frac{5}{2}\times1=\frac{5}{2}$$

（答）$\dfrac{5}{2}$

例題1-3

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 3x}{\sin 2x}$ を求めなさい。

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$\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}$ に直し，中身をそろえます。

$$\frac{\tan 3x}{\sin 2x} =\frac{\dfrac{\sin 3x}{3x}}{\dfrac{\sin 2x}{2x}}\times\frac{3x}{2x}\times\frac{1}{\cos 3x} \longrightarrow\frac{1}{1}\times\frac{3}{2}\times1=\frac{3}{2}$$

（答）$\dfrac{3}{2}$

確認演習1

次の極限を求めなさい。

• （1）$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{\sin 9x}$
• （2）$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 6x}{\sin 5x}$

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（1）中身をそろえると係数の比に直る。

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{\sin 9x}=\frac{4}{9}$$

（2）$\tan 6x=\dfrac{\sin 6x}{\cos 6x}$ とし，$\cos6x\to1$。

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan 6x}{\sin 5x}=\frac{6}{5}$$

（答）（1）$\dfrac{4}{9}$　（2）$\dfrac{6}{5}$

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型2：置きかえる（x→0 に直す）

$x\to\infty$ や $x\to\dfrac{\pi}{2}$ のように $x\to0$ でないときは，$t$ を置いて $t\to0$ の形に直します。

例題2-1

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$ を求めなさい。

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$t=\dfrac{1}{x}$ とおくと，$x\to\infty$ のとき $t\to0$，また $x=\dfrac{1}{t}$ です。

$$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x} =\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\sin t =\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$$

（答）1

例題2-2

$\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos 3x}$ を求めなさい。

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$t=\dfrac{\pi}{2}-x$ とおくと，$x\to\dfrac{\pi}{2}$ のとき $t\to0$。$x=\dfrac{\pi}{2}-t$ を代入すると，

$$\cos x=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t$$$$\cos 3x=\cos\!\left(\frac{3}{2}\pi-3t\right)=-\sin 3t$$

したがって，

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos 3x} =\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{-\sin 3t} =\lim_{t\to0}\left(-\frac{\dfrac{\sin t}{t}}{\dfrac{\sin 3t}{3t}}\times\frac{t}{3t}\right) =-\frac{1}{1}\times\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

（答）$-\dfrac{1}{3}$

例題2-3

$\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{4}}$ を求めなさい。

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$t=x-\dfrac{\pi}{4}$ とおくと，$x\to\dfrac{\pi}{4}$ のとき $t\to0$，$x=\dfrac{\pi}{4}+t$。加法定理より，

$$\sin x=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+t\right)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos t+\sin t)$$$$\cos x=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+t\right)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos t-\sin t)$$

差をとると $\sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin t$ なので，

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{4}} =\lim_{t\to0}\frac{\sqrt2\,\sin t}{t}=\sqrt2$$

（答）$\sqrt2$

確認演習2

$\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\,x-\dfrac{\pi}{2}\,}$ を求めなさい。

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$t=x-\dfrac{\pi}{2}$ とおくと $t\to0$，$x=\dfrac{\pi}{2}+t$。

$$\cos x=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t$$

よって，

$$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\dfrac{\pi}{2}} =\lim_{t\to0}\frac{-\sin t}{t}=-1$$

（答）$-1$

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型3：1−cosx は有理化する

$1-\cos x$ が出たら，$(1+\cos x)$ を分母分子にかけて有理化します。分子が $1-\cos^2x=\sin^2x$ になり，基本公式に持ちこめます。

例題3-1

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ を求めなさい。

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$(1+\cos x)$ を分母分子にかけます。

$$\frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} =\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}$$

$\dfrac{\sin^2x}{x^2}=\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\to1$，$1+\cos x\to2$ なので，

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

（答）$\dfrac{1}{2}$

確認演習3

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$ を求めなさい。

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中身が $2x$ なので，$(1+\cos 2x)$ をかけて有理化します。

$$\frac{1-\cos 2x}{x^2} =\frac{\sin^2 2x}{x^2(1+\cos 2x)} =\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2\times\frac{(2x)^2}{x^2}\times\frac{1}{1+\cos 2x}$$

$\left(\dfrac{\sin 2x}{2x}\right)^2\to1$，$\dfrac{(2x)^2}{x^2}=4$，$1+\cos 2x\to2$ なので，

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}=1\times4\times\frac{1}{2}=2$$

（答）2

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型4：根号は有理化して sin の形を作る

$\sin$ の中身に根号があるときも，根号の有理化で $\dfrac{\sin(\text{中身})}{\text{中身}}$ の形を作ります。

例題4-1

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sqrt{x+1}-1)}{3x}$ を求めなさい。

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中身 $\sqrt{x+1}-1$ を分母にもそろえるため，2 つに分けます。

$$\frac{\sin(\sqrt{x+1}-1)}{3x} =\frac{\sin(\sqrt{x+1}-1)}{\sqrt{x+1}-1}\times\frac{\sqrt{x+1}-1}{3x}$$

左側は $x\to0$ で中身が $0$ に近づくので $\to1$。右側は根号を有理化します。

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{3x} =\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{3x(\sqrt{x+1}+1)} =\frac{x}{3x(\sqrt{x+1}+1)} =\frac{1}{3(\sqrt{x+1}+1)}$$

$x\to0$ で $\sqrt{x+1}+1\to2$ なので，右側は $\dfrac{1}{3\times2}=\dfrac{1}{6}$。

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sqrt{x+1}-1)}{3x}=1\times\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$$

（答）$\dfrac{1}{6}$

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型5：はさみうちの原理

$\sin\dfrac1x$ や $\cos\dfrac1x$ のように，振動して極限を持たない部分があるときは，基本公式では解けません。$-1\leqq\sin\theta\leqq1$，$-1\leqq\cos\theta\leqq1$ で上下からはさんで追い込みます。

例題5-1

$\displaystyle\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}$ を求めなさい。

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$x=0$ を除くすべての実数で $-1\leqq\cos\dfrac1x\leqq1$ です。

(ア) $x>0$ のとき　各辺に $x$ をかけて，

$$-x\leqq x\cos\frac1x\leqq x$$

$x\to+0$ で左右とも $0$ に近づくので，はさみうちの原理より $x\cos\dfrac1x\to0$。

(イ) $x<0$ のとき　各辺に $x$（負）をかけると不等号の向きが変わり，

$$x\leqq x\cos\frac1x\leqq -x$$

$x\to-0$ で左右とも $0$ に近づくので，同様に $\to0$。

(ア)(イ) より，

$$\lim_{x\to0}x\cos\frac1x=0$$

（答）0

例題5-2

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}$ を求めなさい。ただし $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）とする。

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ガウス記号の定義より，すべての実数で次の不等式が成り立ちます。

$$[x]\leqq x<[x]+1$$

これを変形して $[x]$ をはさむ形にします。各辺から $x$ を考え直すと，

$$x-1<[x]\leqq x$$

$x>0$ で各辺を $x$ でわると，

$$1-\frac{1}{x}<\frac{[x]}{x}\leqq1$$

$x\to\infty$ で左辺は $\to1$，右辺は $1$。はさみうちの原理より，

$$\lim_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}=1$$

（答）1

確認演習5

$\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}$ を求めなさい。

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$-1\leqq\sin\dfrac1x\leqq1$ の各辺に $x^2$（$\geqq0$）をかけると，

$$-x^2\leqq x^2\sin\frac1x\leqq x^2$$

$x\to0$ で左右とも $0$ に近づくので，はさみうちの原理より，

$$\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0$$

$x^2$ は常に $0$ 以上なので，$x$ の正負で場合分けが要らないのが $x\cos\dfrac1x$ との違いです。

（答）0

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まとめ：型の見分け方

• 基本は $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。「sin（中身）／同じ中身」を作る
• 型1：$\sin ax/\sin bx$ などは中身をそろえる → 係数の比
• 型2：$x\to\infty$・$x\to\pi/2$ などは $t$ で置きかえて $x\to0$ に
• 型3：$1-\cos x$ は $(1+\cos x)$ をかけて有理化 → $\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12$
• 型4：根号入りも有理化で $\dfrac{\sin(中身)}{中身}$ を作る
• 型5：$\sin\dfrac1x$・ガウス記号は，はさみうちの原理

問題を見たら，まず「どの型か」を判断する。型さえ見抜ければ，あとは決まった手順を進めるだけです。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，数Ⅲの極限を「公式の暗記」ではなく型の見分けとして指導しています。三角関数の極限は問題数こそ多いものの，使う手は今回の 5 つの型にほぼ収まります。「これは中身をそろえる型」「これは置きかえる型」と判断できるようになれば，初見の問題でも手が動きます。

大学受験では，この単元は微分の定義（$\dfrac{\sin x-\sin a}{x-a}$ 型）や，極限を使った関数の連続・微分可能性の議論にもつながります。土台となる三角関数の極限を，型で整理して身につけておきましょう。

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