【数Ⅰ】命題と証明の完全攻略｜必要十分・逆裏対偶・対偶証明・背理法

$n=4$ を考えます。$4$ は $4$ の倍数（仮定を満たす）ですが、$8$ の倍数ではありません（結論を満たさない）。

これが反例です。よってこの命題は偽。

反例はたった $1$ つでよく、「いちばん小さい数」「いちばん簡単な数」から試すのがコツです。

$p:\ x=2$、$q:\ x^2=2x$ とおいて、両方向の矢印を調べます。

$p \Rightarrow q$（$x=2$ ならば $x^2=2x$）

$x=2$ を代入すると $2^2=4$、$2\times 2=4$ で成り立つ。真。

$q \Rightarrow p$（$x^2=2x$ ならば $x=2$）

$x^2=2x$ を解くと

$x=0$ という反例があるので、$x=2$ とは限らない。偽。

矢印は $p \Rightarrow q$ だけが真。$p$ から矢印が出ているので、

$x=2$ は $x^2=2x$ であるための十分条件（必要条件ではない）。

$p:\ x>0$、$q:\ x \neq 1$ とおきます。

$p \Rightarrow q$（$x>0$ ならば $x \neq 1$）

$x=1$ は $x>0$ を満たすのに $x \neq 1$ を満たさない。これが反例。偽。

$q \Rightarrow p$（$x \neq 1$ ならば $x>0$）

$x=-1$ は $x \neq 1$ を満たすのに $x>0$ を満たさない。これが反例。偽。

両方向とも偽なので、

$x>0$ は $x \neq 1$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

数直線をかいて「$x>0$ の範囲」と「$x \neq 1$ の範囲」を見比べると、どちらも相手をはみ出していて、包含関係がないことが見えます。

$p:\ x=-4$、$q:\ x^2=16$ とおきます。

$p \Rightarrow q$（$x=-4$ ならば $x^2=16$）

$x=-4$ を代入すると $(-4)^2=16$ で成り立つ。真。

$q \Rightarrow p$（$x^2=16$ ならば $x=-4$）

$x^2=16$ より $x=\pm 4$。$x=4$ という反例があるので、$x=-4$ とは限らない。偽。

矢印は $p \Rightarrow q$ だけが真。$p$ から矢印が出ているので、

$x=-4$ は $x^2=16$ であるための十分条件（必要条件ではない）。

「$1$ つの値を $2$ 乗する」と必ず成り立つが、「$2$ 乗して戻す」と $\pm$ の $2$ 通りに散らばる——だから片方向だけ真。十分条件の典型パターンです。

$p:\ x+3=5$、$q:\ 2x=4$ とおきます。それぞれ解くと、$p$ は $x=2$、$q$ も $x=2$。

$p \Rightarrow q$：$x=2$ なら $2x=4$。真。

$q \Rightarrow p$：$x=2$ なら $x+3=5$。真。

両方向とも真なので、

$x+3=5$ は $2x=4$ であるための必要十分条件。

中身が「結局どちらも $x=2$」と同じ条件なら、必要十分になります。

もとの命題は $p:\ x=1$、$q:\ x^2=1$。これ自体は 真（$1^2=1$）。

逆「$x^2=1$ ならば $x=1$」

$x^2=1$ より $x=\pm 1$。$x=-1$ という反例があるので 偽。

裏「$x \neq 1$ ならば $x^2 \neq 1$」

$x=-1$ は $x \neq 1$ を満たすのに $x^2=1$。反例があるので 偽。

対偶「$x^2 \neq 1$ ならば $x \neq 1$」

$x^2 \neq 1$ なら、$x$ は $1$ でも $-1$ でもない。とくに $x \neq 1$。真。

もと（真）と対偶（真）が一致し、逆（偽）と裏（偽）が一致しています。

$p:\ x=2$、$q:\ x^2=4$。もとの命題は $2^2=4$ なので 真。

逆「$x^2=4$ ならば $x=2$」… $x^2=4$ より $x=\pm 2$。$x=-2$ が反例で 偽。

裏「$x \neq 2$ ならば $x^2 \neq 4$」… $x=-2$ は $x \neq 2$ なのに $x^2=4$。反例で 偽。

対偶「$x^2 \neq 4$ ならば $x \neq 2$」… $x^2 \neq 4$ なら $x$ は $2$ でも $-2$ でもない。とくに $x \neq 2$。真。

もと（真）と対偶（真）、逆（偽）と裏（偽）がそれぞれ一致しています。

「$n^2$ が偶数」から「$n$ が偶数」を直接導くのは難しい（$n^2$ をどう分解する？）。そこで対偶を考えます。

もとの命題の対偶は

「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」

これを示せば十分です（対偶が真なら、もとも真）。

証明　$n$ が奇数のとき、$n=2k-1$（$k$ は整数）と表せる。このとき

$2k^2-2k$ は整数だから、$2(2k^2-2k)+1$ は奇数。よって $n^2$ は奇数である。

ゆえに対偶「$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数」は真。したがって、もとの命題「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数」も真である。

「$\sqrt{2}$ は無理数である」をまっすぐ示そうとすると、なぜ難しいのか。無理数とは「分数 $\dfrac{a}{b}$ の形で表せない数」のこと。これを直接確かめるには、$\dfrac{1}{2},\ \dfrac{7}{5},\ \dfrac{99}{70},\ \dots$ と無限にある分数すべてについて「$\sqrt{2}$ と等しくない」と確認しなければならず、無限通りを $1$ つずつ調べるのは不可能です。「○○でない」を正面から示すのは、こういうとき手が出ません。

そこで発想を逆にします。「$\sqrt{2}$ は有理数である（＝分数で表せる）」とウソでも仮定して話を進め、どこかで矛盾（おかしなこと）が起きるのを見せる。矛盾が起きれば「分数で表せる」という仮定が間違い、つまり「分数で表せない＝無理数」だと分かる——これが背理法です。

証明　$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。すると、これ以上約分できない分数として

と表せる。両辺を $2$ 乗して

$(1)$ より $a^2$ は偶数。ここで前の節で証明した「$a^2$ が偶数ならば $a$ は偶数」を使うと、$a$ は偶数。そこで $a=2c$（$c$ は整数）とおいて $(1)$ に代入すると

すると今度は $b^2$ が偶数、よって $b$ も偶数。

しかし、$a$ も $b$ も偶数だと、$a$ と $b$ はともに $2$ で割り切れることになり、「$a,\ b$ は互いに素」という仮定に矛盾する。

よって「$\sqrt{2}$ は有理数」という仮定が誤りであり、$\sqrt{2}$ は無理数である。

ここで対偶証明で示した「$a^2$ が偶数 → $a$ は偶数」がそのまま部品として効いている点に注目してください。$2$ つの証明法は別物ではなく、つながって使われます。

対偶「$n$ が $3$ の倍数でないならば、$n^2$ も $3$ の倍数でない」を示します。

$n$ が $3$ の倍数でないとき、$n$ は $n=3k+1$ または $n=3k+2$（$k$ は整数）と表せる。

$n=3k+1$ のとき

$n=3k+2$ のとき

どちらの場合も $n^2$ は「$3$ の倍数 $+1$」の形なので、$3$ の倍数でない。

よって対偶は真。したがって、もとの命題も真である。

割った余りで場合分けするのが、整数の証明の定石です。

$\sqrt{2}$ のときと同じ流れです。「$\sqrt{3}$ は有理数である」と仮定して矛盾を導きます。

証明　$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な正の整数 $a,\ b$ を使って

と表せる。両辺を $2$ 乗して

$(1)$ より $a^2$ は $3$ の倍数。確認演習5より $a$ は $3$ の倍数。そこで $a=3c$（$c$ は整数）とおいて $(1)$ に代入すると

すると今度は $b^2$ が $3$ の倍数、よって $b$ も $3$ の倍数。

$a$ も $b$ も $3$ の倍数だと、$a,\ b$ がともに $3$ で割り切れ、「互いに素」に矛盾する。

よって $\sqrt{3}$ は無理数である。

「割り切れる素数」を $2$ から $3$ に変えただけで、$\sqrt{2}$ の証明とまったく同じ形。$\sqrt{5}$ でも $\sqrt{7}$ でも同じ手順で示せます。