【数Ⅲ】極限で定義された関数の連続性｜関数の求め方と連続・不連続の調べ方

この記事について

数Ⅲで「$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n+1}+\cdots}{x^{2n}+1}$ で定義される関数を求めよ」「$f(x)=[x]\,x$ は $x=1$ で連続か」といった問題に出会うと，多くの人が身構えます。極限・ガウス記号・連続性が一度に出てきて，どこから手をつけていいか分からなくなるからです。

けれども，これらの問題で本当にやることは一つしかありません。

• $x^n$ の極限なら：$x$ が $1$ より大きいか・小さいか・ちょうど境目かで場合分けする
• 連続性なら：場合分けのつなぎ目で，左極限・右極限・その点の値の $3$ つを照らし合わせる

この記事では，その土台を一つずつ確認します。各テーマのあとに確認演習をつけました。

この記事でいちばん伝えたいこと

複雑に見える関数も，「区間を分けて，境目を調べる」という一つの作業に還元できます。

• 区間の中（$-1<x<1$ や $x<-1,\ 1<x$）では，$x^n$ がどうふるまうかで式が自動的に決まる
• 連続か不連続かは，区間の中ではなくつなぎ目（$x=\pm1$ など）だけで決まる

問題が「関数を求めよ」でも「連続性を調べよ」でも，やることは結局「区間の中を整理し，境目を点検する」。この見通しさえ持てれば，初見の問題でも手が動きます。

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土台：$x^n$ の極限は「$x$ が $-1$ と $1$ の間か外か」だけで決まる

なぜ「場合分け」にたどり着くのか

いきなり公式を覚えるのではなく，なぜ場合分けが必要になるのかを，式の形から読み解いていきましょう。ここが分かれば，初見の問題でも自分で方針を立てられます。

この種の関数は $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}(\cdots)$ の形をしています。まず気づいてほしいのは，次の $2$ つです。

• 動いている（$\infty$ に飛ばしている）のは $n$ の方であって，$x$ ではない。$x$ はいったん「ある一つの数」として固定されている。
• その $n$ は，$x^{n}$ や $x^{2n}$ のように $x$ の右肩（指数）に乗っている。

この $2$ つを合わせると，問題の正体が見えてきます。「ある数 $x$ を，$n$ 回・$2n$ 回……と限りなくかけ続けたら，どこへ向かうか」を調べているのです。

では，ある数を限りなくかけ続けたとき，行き先を決めるのは何でしょうか。それはかける数そのものの大きさ——つまり指数の底にあたる $x$ が，$1$ より大きいか・小さいかです。

• $0.5$ のように $1$ より小さい数 → かけるほど小さくなり $0$ へ
• $2$ のように $1$ より大きい数 → かけるほど大きくなって発散
• ちょうど $1$ や $-1$ → 特別なふるまい

だから，$x$ の大きさで場合を分ける。これがこの分野のすべての出発点です。「$n$ の極限なのに $x$ で場合分けする」のは，$n$ が $x$ の指数に乗っているから，$x$ の大きさが行き先を支配しているからなのです。

場合分けの結論

以上をまとめると，$n\to\infty$ のとき，$x^n$ がどこへ向かうかは，$x$ が $-1$ と $1$ の間にあるか，外にあるかだけで決まります。

直感で押さえておきましょう。$0.5$ のように $-1$ と $1$ の間の数を何回もかければ $0$ に吸い込まれ，$2$ のように $1$ より大きい数を何回もかければ限りなく大きくなる。$1$ はいつまでも $1$。

ここで $x=-1$ だけは別あつかいです。$x=-1$ を何回もかけると $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\dots$ と $1$ と $-1$ を行ったり来たりして，どこか一つの値に近づきません。これを振動といいます。$x<-1$（たとえば $-2$）が「絶対値がどんどん大きくなって発散」するのとは別物で，$x=-1$ は大きくもならず，値も定まらない。だから $x=-1$ は外側とまとめず，独立した一つの場合として書きます。

この性質を使うと，$x^{2n}$ や $x^{2n+1}$ を含む分数の極限は，$x$ の範囲ごとにどの項が生き残るかを見るだけで求まります。

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型1：$x^{2n}$ を含む分数は区間ごとに別の式になる

分母分子に $x^{2n}$ がある分数は，区間によって「生き残る項」が変わるので，$1$ つの式が区間ごとに別の顔を見せます。代表的な型を完全に分解してみましょう。

例題1-1

次の関数 $f(x)$ を求めなさい。

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n+1}+ax^{2}+bx+1}{x^{2n}+1}$$

答え・解説を見る

$x^{2n}$ のふるまいで場合を分けます。$x^{2n}=(x^2)^n$ なので，$-1<x<1$（内側）なら $x^{2n}\to0$，$x<-1$ または $1<x$（外側）なら $x^{2n}\to\infty$ です。

(ア) $-1<x<1$ のとき　$x^{2n}\to0$，$x^{2n+1}\to0$ なので，

$$f(x)=\frac{0+ax^2+bx+1}{0+1}=ax^2+bx+1$$

(イ) $x=1$ のとき　$x^{2n}=1,\ x^{2n+1}=1$ を代入して，

$$f(1)=\frac{1+a+b+1}{1+1}=\frac{a+b+2}{2}$$

(ウ) $x=-1$ のとき　$x^{2n}=1,\ x^{2n+1}=-1$（指数が奇数）なので，

$$f(-1)=\frac{-1+a+(-b)+1}{1+1}=\frac{a-b}{2}$$

(エ) $x<-1$ または $1<x$ のとき　$x^{2n}\to\infty$。分母分子を $x^{2n}$ でわると，

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x+\dfrac{ax^2}{x^{2n}}+\dfrac{bx}{x^{2n}}+\dfrac{1}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}} =\frac{x+0+0+0}{1+0}=x$$

まとめると，

$$f(x)= \begin{cases} x & (x<-1,\ 1<x)\\[2pt] \dfrac{a-b}{2} & (x=-1)\\[2pt] ax^2+bx+1 & (-1<x<1)\\[2pt] \dfrac{a+b+2}{2} & (x=1) \end{cases}$$

（答）上の場合分けの通り

確認演習1

$\displaystyle g(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n+1}+x}{x^{2n}+1}$ について，次を求めなさい。

• （1）$-1<x<1$ のときの $g(x)$
• （2）$g(1)$ と $g(-1)$
• （3）$x<-1,\ 1<x$ のときの $g(x)$

答え・解説を見る

$a=0,\ b=1,\$定数項$=0$ にあたる形ですが，直接調べます。

（1）$-1<x<1$：$x^{2n}\to0,\ x^{2n+1}\to0$ より

$$g(x)=\frac{0+x}{0+1}=x$$

（2）$x=1$：$g(1)=\dfrac{1+1}{1+1}=1$。$\ x=-1$：$g(-1)=\dfrac{-1+(-1)}{1+1}=-1$。

（3）$x<-1,\ 1<x$（外側）：分母分子を $x^{2n}$ でわると

$$g(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x+\dfrac{x}{x^{2n}}}{1+\dfrac{1}{x^{2n}}}=\frac{x+0}{1+0}=x$$

（答）（1）$x$　（2）$g(1)=1,\ g(-1)=-1$　（3）$x$

すべての範囲で $g(x)=x$ になり，しかも $x=\pm1$ でもつながっています。つまりこの $g(x)$ は $x$ 全体で $g(x)=x$ となる連続関数です。係数の選び方しだいで，つなぎ目がそろうこともある——これが次のテーマの伏線です。

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型2：連続性は「つなぎ目」だけで決まる

場合分けで関数が求まったら，次は連続性です。ここで大事なのは，区間の中はチェックしなくていいということ。$ax^2+bx+1$ も $x$ も多項式で，もともとなめらかにつながっています。あやしいのは区間のつなぎ目（$x=\pm1$）だけです。

なぜ $3$ つもそろえる必要があるのか。それは，グラフが $x=a$ で「つながっている」ことを保証するには，$3$ つのうちどれか一つでも欠けるとダメだからです。下の図で，連続でない $2$ つの壊れ方を見てください。

• 左（連続）：左から近づいた値・右から近づいた値・実際の点の値，$3$ つが同じ高さ。だから線は切れ目なくつながります。
• 中央（穴があく）：左右から近づくと同じ高さに集まる（左極限＝右極限）のに，その点の実際の値 $f(a)$ だけが別の場所にある。$1$ 点だけ穴があいて飛び地になり，つながっていません。$\Rightarrow$「点の値」の一致が必要な理由。
• 右（段差）：左から近づいた高さと右から近づいた高さが違う（左極限 $\neq$ 右極限）。$x=a$ でガクッと段差ができ，つながっていません。$\Rightarrow$「左極限＝右極限」が必要な理由。

つまり「点の値」が左右の極限とずれれば穴があき，「左右の極限」どうしがずれれば段差ができる。両方を防いで初めて「つながっている」と言えるので，$3$ つの一致を定義にしているのです。

例題2-1

例題1-1 で求めた $f(x)$ が，すべての実数 $x$ で連続になるような定数 $a,\ b$ の値を求めなさい。

答え・解説を見る

区間の中（$-1<x<1$ と $x<-1,\ 1<x$）はそれぞれ多項式なので連続。点検するのは $x=1$ と $x=-1$ の $2$ か所だけです。

$x=1$ でのつなぎ目

• 左極限（$-1<x<1$ 側）：$\displaystyle\lim_{x\to1-0}(ax^2+bx+1)=a+b+1$
• 右極限（$1<x$ 側）：$\displaystyle\lim_{x\to1+0}x=1$
• その点の値：$f(1)=\dfrac{a+b+2}{2}$

連続の条件はこの $3$ つが一致すること。まず左極限と右極限から，

$$a+b+1=1 \quad\Longrightarrow\quad a+b=0$$

このとき左右の極限は $1$。点の値も確かめると $f(1)=\dfrac{a+b+2}{2}=\dfrac{0+2}{2}=1$ で一致します。

$x=-1$ でのつなぎ目

• 左極限（$x<-1$ 側）：$\displaystyle\lim_{x\to-1-0}x=-1$
• 右極限（$-1<x<1$ 側）：$\displaystyle\lim_{x\to-1+0}(ax^2+bx+1)=a-b+1$
• その点の値：$f(-1)=\dfrac{a-b}{2}$

左極限と右極限から，

$$a-b+1=-1 \quad\Longrightarrow\quad a-b=-2$$

このとき右極限は $-1$。点の値も $f(-1)=\dfrac{a-b}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$ で一致します。

連立して解く

$$\begin{aligned} a+b&=0\\ a-b&=-2 \end{aligned}$$

辺々たすと $2a=-2$ より $a=-1$，よって $b=1$。

（答）$a=-1,\ b=1$

KRONE ポイント

連続性は「境目に立って，左・右・その点の $3$ つがそろうか」を見るだけ。$x=\pm1$ それぞれで左極限＝右極限の式を立て，最後に点の値も一致するか確認します。

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型3：ガウス記号は整数点で値が飛ぶ

ガウス記号 $[x]$（$x$ を超えない最大の整数）が入ると，整数の境目で値が $1$ つジャンプします。$0<x<1$ では $[x]=0$，$1<x<2$ では $[x]=1$。この段差が，連続・不連続を分ける急所になります。

例題3-1

$f(x)=[x]\,x$ が $x=1$ で連続かどうか調べなさい。ただし $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）とする。

答え・解説を見る

$x=1$ の左右で $[x]$ の値が変わることに注意して，左極限・右極限・点の値を調べます。

左極限（$0<x<1$ 側）　この範囲では $[x]=0$ なので $f(x)=0\cdot x=0$。

$$\lim_{x\to1-0}f(x)=\lim_{x\to1-0}0=0$$

右極限（$1<x<2$ 側）　この範囲では $[x]=1$ なので $f(x)=1\cdot x=x$。

$$\lim_{x\to1+0}f(x)=\lim_{x\to1+0}x=1$$

その点の値　$x=1$ では $[1]=1$ なので $f(1)=1\cdot1=1$。

左極限 $0$ と右極限 $1$ が一致しません。

$$\lim_{x\to1-0}f(x)\neq\lim_{x\to1+0}f(x)$$

（答）$x=1$ で連続ではない（左極限 $0$，右極限 $1$ で一致しないため）

KRONE ポイント

ガウス記号は整数の境目が勝負どころ。$x=1$ の手前は $[x]=0$，向こうは $[x]=1$ と値が飛ぶので，左右の極限がずれます。連続性を聞かれたら，必ず整数点の左右で $[x]$ を別々に書き直すこと。

確認演習3

$f(x)=[x]\,x$ について，$x=2$ で連続かどうか調べなさい。

答え・解説を見る

$x=2$ の左右で $[x]$ を書き直します。

• 左極限（$1<x<2$ 側，$[x]=1$）：$\displaystyle\lim_{x\to2-0}1\cdot x=2$
• 右極限（$2<x<3$ 側，$[x]=2$）：$\displaystyle\lim_{x\to2+0}2\cdot x=4$
• 点の値：$f(2)=[2]\cdot2=2\cdot2=4$

左極限 $2$ と右極限 $4$ が一致しないので，

$$\lim_{x\to2-0}f(x)\neq\lim_{x\to2+0}f(x)$$

（答）$x=2$ で連続ではない（左極限 $2$，右極限 $4$）

整数点 $x=k$ ごとに左右で段差が出るので，$f(x)=[x]\,x$ はすべての整数で不連続になります。

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まとめ：複雑な関数も「区間を分けて境目を見る」だけ

• 土台は $x^n$ の極限：$-1<x<1$ で $0$，$x<-1,\ 1<x$ で発散，$x=1$ は $1$，$x=-1$ は振動
• 型1：$\dfrac{x^{2n+1}+\cdots}{x^{2n}+1}$ は区間ごとに別の式。外側（$x<-1,\ 1<x$）では分母分子を $x^{2n}$ でわる
• 型2：連続性は区間の中ではなくつなぎ目（$x=\pm1$）だけで決まる。左極限＝右極限＝点の値
• 型3：ガウス記号 $[x]$ は整数点で値が飛ぶ。左右で $[x]$ を書き直す

見た目がいかつい関数でも，やることは「区間を分けて，境目を点検する」の一点に還元できます。土台さえ持っていれば，初見でも崩れません。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，数Ⅲのこの分野を「公式の暗記」ではなく一つの作業への還元として指導しています。$x^n$ の極限・ガウス記号・連続性は，別々の難所に見えて，本質は「区間に分けて，つなぎ目だけを丁寧に調べる」という同じ手続きです。

受験生がいちばん落としやすいのは，$x=-1$ で $x^{2n+1}$ の符号を見落とす点と，ガウス記号で整数点の左右の $[x]$ を取り違える点です。クローネ学園では，この二つの急所を最初に潰してから演習に入ります。境目だけに集中できるようになると，計算量の多い問題でもミスが激減します。

この単元は，微分係数の定義や中間値の定理を使った「方程式が解を持つことの証明」へとつながっていきます。土台となる連続性の考え方を，型で整理して身につけておきましょう。

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