【数Ⅱ】接線の方程式｜「曲線上の点」と「曲線外の点」の違いを1つの考え方で攻略

この記事について

微分を習うと出てくる「接線の方程式」。曲線上の点での接線は解けるのに，「曲線外の点を通る接線」になったとたん手が止まる——この差でつまずく高校生はとても多いです。教科書では別の問題のように並んでいますが，実はこの2つはまったく同じ1つの考え方でできています。

この記事の土台は，たったこれだけです。

接線とは，傾きが微分係数 $f'(接点)$ で，接点を通る直線。

曲線上でも曲線外でも，求めることはこれだけ。ちがいは「接点を知っているか，文字で置くか」の一点だけです。この土台をつかめば，2つのタイプが地続きに見えてきます。

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接線の土台：傾きは微分係数、接点を通る

復習：傾き $m$ で点 $(a,b)$ を通る直線は $y=m(x-a)+b$。 接線も直線なので，まずこの直線の式を思い出しておきます。なぜこの形になるのか，理由まで確認しておきましょう。

傾き $m$ の直線は $y=mx+c$ と書けます（$c$ は切片）。この直線が点 $(a,b)$ を通るなら，$x=a,\,y=b$ を代入して $b=ma+c$，つまり $c=b-ma$。これを戻すと，

$$y = mx + (b - ma) = m(x - a) + b$$

となります。$y=m(x-a)+b$ は，「傾き $m$」と「通る1点 $(a,b)$」さえわかれば直線が1本に決まることを，そのまま式にしたものです。接線も結局は直線なので，あとは「傾き」と「通る点」の2つを用意すれば書けます。

では，すべての出発点になる考え方を確認します。関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(t,\,f(t))$ における接線は，

• 傾き＝その点での微分係数 $f'(t)$
• 通る点＝接点 $(t,\,f(t))$

なので，いまの直線の式 $y=m(x-a)+b$ にあてはめて，

$$y = f'(t)\,(x - t) + f(t)$$

これが接線の方程式の完成形です。接線の問題は，結局この式の $t$（接点）をどう決めるかに尽きます。$t$ がわかれば，あてはめるだけで終わります。

接線の問題＝「接点 $t$ を決める問題」。式はいつも $y=f'(t)(x-t)+f(t)$。

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曲線上の点：接点はもう与えられている

与えられた点が曲線の上にあるとき，その点がそのまま接点です。$t$ を探す必要はありません。

例題1　$y=x^3-3x$ 上の点 $(2,\,2)$ における接線を求めよ。

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点 $(2,2)$ は曲線上の点なので，これが接点です。$t=2$ とわかっているので，この土台の式にあてはめるだけです。

$f(x)=x^3-3x$ を微分して $f'(x)=3x^2-3$。傾きは

$$f'(2) = 3\cdot 2^2 - 3 = 9$$

接点 $(2,2)$ を通り，傾き $9$ の直線だから，

$$y = 9(x-2) + 2 = 9x - 16$$

（答）$y = 9x - 16$

例題2　$y=x^3+x^2-1$ 上の点 $A(1,\,1)$ における接線を求めよ。

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$f(1)=1^3+1^2-1=1$ なので，$A(1,1)$ はたしかに曲線上の点。これが接点です。

$f'(x)=3x^2+2x$ より傾きは

$$f'(1) = 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 = 5$$

接点 $(1,1)$ を通り，傾き $5$ の直線だから，

$$y = 5(x-1) + 1 = 5x - 4$$

（答）$y = 5x - 4$

曲線上の点では，接点が最初からわかっているので，微分係数を傾きにして即あてはめるだけ。ここは迷う余地がありません。

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曲線外の点：接点を $t$ と置いて、通る条件で決める

問題は，与えられた点が曲線の上にないときです。たとえば $(1,-3)$ のような点。このとき，$(1,-3)$ は接点ではありません。接点はグラフ上のどこか別の場所にあり，まだわかりません。

ここで詰まる人の多くは「与えられた点を接点として代入してしまう」というミスをします。外の点は接点ではないので，それでは解けません。わからない接点を $t$ と置く——これが外の点の唯一にして最大のポイントです。

例題3　点 $(1,\,-3)$ から放物線 $y=x^2$ に引いた接線を求めよ。

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まず確認：$x=1$ を代入すると $1^2=1 \ne -3$。だから $(1,-3)$ は曲線外の点です。接点ではないので，接点を $t$ と置きます。

$f(x)=x^2$，$f'(x)=2x$ より，接点 $(t,\,t^2)$ における接線は，土台の式にあてはめて

$$y = 2t(x - t) + t^2 = 2tx - t^2$$

この接線が点 $(1,-3)$ を通る，という条件で $t$ を決めます。$x=1,\,y=-3$ を代入して，

$$\begin{aligned} -3 &= 2t\cdot 1 - t^2 \\ t^2 - 2t - 3 &= 0 \\ (t-3)(t+1) &= 0 \end{aligned}$$

接点は $t=3$ と $t=-1$ の 2つ。外の点からは接線が2本引けるわけです。それぞれ土台の式にあてはめます。

$t=3$ のとき，傾き $2\cdot3=6$，接点 $(3,\,9)$ だから $y=6(x-3)+9=6x-9$。

$t=-1$ のとき，傾き $2\cdot(-1)=-2$，接点 $(-1,\,1)$ だから $y=-2(x+1)+1=-2x-1$。

（答）$y = 6x - 9$，$y = -2x - 1$

例題4　点 $(0,\,-1)$ から放物線 $y=x^2$ に引いた接線を，接する条件（判別式）で求めよ。

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例題3は「接点を $t$ と置く」解法でした。同じ問題は，接する条件でも解けます。どちらも結局は同じ土台を別の文字で表しているだけです。

まず確認：$x=0$ で $0^2=0\ne-1$ なので $(0,-1)$ は曲線外の点。求める接線を「傾き $m$ で $(0,-1)$ を通る直線」と置きます。

$$y = mx - 1$$

これが $y=x^2$ と接する条件を使います。連立して $y$ を消すと，

$$x^2 = mx - 1 \;\Longrightarrow\; x^2 - mx + 1 = 0$$

接する＝この2次方程式が重解をもつ，ということなので，判別式 $D=0$：

$$D = (-m)^2 - 4\cdot 1 = m^2 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; m = \pm 2$$

$m=2$ なら $y=2x-1$，$m=-2$ なら $y=-2x-1$。

（答）$y = 2x - 1$，$y = -2x - 1$

接点を $t$ で置く解法（例題3の流れ）と，傾き $m$ を置いて判別式で解くこの解法は，どちらも「接する」という同じ土台を別の文字で表しているだけです。3次関数など「接する＝重解」が使いにくい曲線では $t$ で置く解法を，放物線では判別式を，と使い分けると速く解けます。

曲線外の点：接点はわからない → $t$ と置く → 接線を $t$ で表す → 「外の点を通る」を代入して $t$ を決める。

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つまずきの急所：解く前に「上か外か」を必ず確かめる

このタイプで答えを落とす原因は，ほぼ1つです。与えられた点が曲線上か曲線外かを確かめずに解き始めること。

• 上の点なのに $t$ で置いて遠回りする（解けるが時間を浪費）
• 外の点なのに，その点を接点として代入してしまう（解けない・答えを落とす）

防ぐ方法は簡単です。解き始める前に，点の $x$ 座標を関数に代入し，$y$ 座標と一致するか確かめる。一致すれば上の点（その点が接点），一致しなければ外の点（接点を $t$ と置く）。例題3で最初に $f(1)=1\ne-3$ を確認したのは，このためです。

はじめの一手は「代入して上か外かを判定」。ここを飛ばすと外の点で必ず詰まる。

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まとめ：接線は1つの土台、ちがいは接点の置き方だけ

	曲線上の点	曲線外の点
与えられた点は	接点そのもの	接点ではない
接点 $t$ は	既知（その点）	未知 → $t$ と置く
手順	微分係数を傾きに即あてはめ	接線を $t$ で表し，通る条件で $t$ を決める
接線の本数	1本	接点の個数だけ（複数のことも）
共通の式	$y=f'(t)(x-t)+f(t)$	$y=f'(t)(x-t)+f(t)$

教科書では別々に並ぶ2つのタイプも，土台はまったく同じ「傾きは微分係数・接点を通る」です。ちがいは接点を知っているか，文字で置くかだけ。だから，まず点が曲線の上か外かを確かめ，上なら即あてはめ，外なら接点を $t$ で置いて通る条件で決める——この一本道で，どちらも崩せます。

接線が「2点を結ぶ割線の極限」であることや，微分係数が接線の傾きになる理由は，数Ⅲ・三角関数の極限の記事で扱う「極限」の考え方とつながっています。土台から理解しておくと，応用が利きます。

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クローネ学園での指導

クローネ学園では，接線の問題を「上の点の公式」「外の点の公式」と別々に暗記させません。『傾きは微分係数・接点を通る』という1つの土台から，両方を同じ流れで導けるように指導します。やり方を2つ覚えるより，1つの考え方で2つを説明できる方が，初見の問題にも強くなるからです。

接線を得点源にする指導のポイント: 「解く前に上か外かを判定する」「外なら接点を $t$ と置く」という手の動かし方を，言葉で説明できるところまで練習します。公式の暗記ではなく，土台からの理解。これは，計算をAIが肩代わりするこれからの時代にこそ価値が出る学び方です。

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