開智中学2025年 算数大問4 解説｜タイルの切断枚数の求め方と公式

この問題について

この記事で扱うのは、開智中学2025年度入試の算数・大問4「タイルの切断（黒ぬり）」の問題です。正方形のタイルを長方形に並べ、対角線をひいたときに「対角線が通過するタイルの枚数」と「黒くぬるタイルの枚数」を求めていく、中学受験で頻出の数の性質の問題です。高松市で開智中学をはじめ難関中の受験算数を指導している塾長が、本番で使える考え方まで掘り下げて解説します。

枚数が16枚、256枚と大きくなっていくため、(1)で図をかいて気づいた規則を、(2)以降では計算に置きかえて速く正確に解くことがポイントになります。この記事では以下を解説します。

• この問題の分野と難易度
• 対角線が通過するタイルの数え方（図と式）
• 黒くぬるタイルを「点対称」で半分にして求める考え方
• 縦・横の最大公約数を使った切断枚数の公式

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開智中学（2025）大問 4

1 辺の長さが 1 cmの正方形の白いタイルをならべて四角形 ABCD をつくります。 次に対角線 AC をひき、三角形 ABC の内部にふくまれる AC が通っていないタイルを黒くぬります。 例えば図のようにタイルを縦に 2 枚、横に 4 枚並べるとき、 三角形 ABC の内部にある 2 枚のタイルを黒くぬります。

• （1）タイルを縦に 4 枚、横に 4 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。
• （2）タイルを縦に 16 枚、横に 16 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。
• （3）タイルを縦に 4 枚、横に 7 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。
• （4）タイルを縦に 16 枚、横に 28 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。

難易度: ★★★☆☆　 分野: 数の性質・切断枚数　 目安時間: 8分

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タイルの切断枚数の求め方（解法のポイント）

この問題のカギは、黒くぬるタイルを1枚ずつ数えるのではなく、次の2段階に分けて考えることです。

1. 対角線 AC が通過するタイルの枚数を求める
2. 全体の枚数から通過枚数を引き、残りを半分にする

対角線で分けた2つの三角形は点対称で、ふくまれるタイルの枚数が等しくなります。だから「全体 − 対角線が通過する枚数」の半分が、片側（三角形 ABC 側）の黒くぬるタイルの枚数になります。

$$\text{黒くぬる枚数} = (\,\text{縦} \times \text{横} - \text{切断枚数}\,) \div 2$$

枚数が小さいうちは図で数えられますが、(2)以降は256枚・448枚と一気に増えます。図で見つけた規則を計算に置きかえることが、ミスなく速く解くポイントです。

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大問４(1)

タイルを縦に 4 枚、横に 4 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。

まずは自分で図をかいて数えてみましょう。できたら下の「答え・解説を見る」を開いてください。

答え・解説を見る

この問題に限らず、最初の小問は「問題を理解できていますか？」という内容です。 素直に図を書いて調べましょう。下図のようになるので、黒くぬるタイルは 6 枚です。

(答)　6 枚

これで答えが求まりますが、(2) を見ると 256 枚のタイルを並べています。 上手に考えないとミスをしそうなので、別の見方で解いてみます。

全体 16 枚のうち、対角線 AC は 4 枚のタイルを通過します。（下図） 残り $16 - 4 = 12$ 枚のうち半分が黒くぬられるので（点対称）、

$$(16 - 4) \div 2 = 6 ~ \text{(枚)}$$

こうすれば計算で求められるので、ミスをする危険性が減らせますね。

大問４(2)

タイルを縦に 16 枚、横に 16 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。

(1)で見つけた「全体 − 対角線が通過する枚数」の半分、という考え方で挑戦してみましょう。

答え・解説を見る

(1) と同じように解きます。 全体 $16 \times 16 = 256$ 枚のうち、対角線 AC は 16 枚の正方形を通過します。 対角線が通過しないのが $256 - 16 = 240$ 枚なので、黒くぬられるタイルは

$$(256 - 16) \div 2 = 120 ~ \text{(枚)}$$

(答)　120 枚

大問４(3)

タイルを縦に 4 枚、横に 7 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。

ここからが本番です。対角線が通過するタイルの枚数を、どう数えれば速いか考えてみましょう。

答え・解説を見る

(1)(2)と違うのは、対角線ACが通過するタイルの枚数がすぐにわからないことです。 対角線と（上の 2 本目からの）タイルの横線が交わるのは青マル 4 か所です。 「上の 2 本目」から数えると、交点の個数はタイルを縦に並べた枚数と同じになっています。

また、対角線と（左の 2 本目からの）タイルの縦線が交わるのは赤マル 7 か所です。 「左の 2 本目」から数えると、交点の個数はタイルを横に並べた枚数と同じになっています。

これらを合わせたのが下の図です。 右下の青マルと赤マルは重なるので、対角線 AC には $4 + 7 - 1 = 10$ 個の点が乗っています。 （$\text{縦の枚数} + \text{横の枚数} - 1$です） このことから、対角線 AC は 10 枚のタイルを通過することがわかります。

だから、黒くぬられるタイルは

$$(4 \times 7 - 10) \div 2 = 9 ~ \text{(枚)}$$

(答)　9 枚

大問４(4)

タイルを縦に 16 枚、横に 28 枚並べるとき、何枚のタイルを黒くぬりますか。

縦 16 枚・横 28 枚を「(3)の縦 4 枚・横 7 枚」と見くらべると、ある関係に気づけます。考えてみましょう。

答え・解説を見る

(3) の三角形 ABC の 4 倍の大きさなので、対角線が通過するタイルの枚数も 4 倍の 40 個になります。 対角線の左上には点がないので重複する場所はありませんね。

$$(16 \times 28 - 10 \times 4) \div 2 = 204 ~ \text{(枚)}$$

(答)　204 枚

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切断枚数を求める公式（数の性質）

縦の枚数と横の枚数の最大公約数が 1 （「互いに素」といいます）のとき、 切断されるタイルは次の公式で求まります。

$$\text{切断枚数} = \text{縦の枚数} + \text{横の枚数} - 1$$

最大公約数が 1 でないときは、(3)から(4)への誘導のように、 縦と横の最大公約数で割った状態から考えましょう。

次の公式を使えば、最大公約数が「1 か 1 でないか」に関係なく求めることができます。

$$\text{切断枚数} = \text{縦の枚数} + \text{横の枚数} - \text{縦と横の最大公約数}$$

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クローネ学園での指導

この問題が難しく感じるのは、公式を知らないからではなく、「(1)で図をかいて見つけた規則を、(2)以降でどう使うか」という橋渡しができないからです。クローネ学園では、いきなり公式を教えるのではなく、まず小さな数で図をかかせ、子ども自身に「縦＋横−1」という規則を発見させる指導を大切にしています。

先取り・飛び級指導のポイント: 自分で見つけた規則は忘れません。最大公約数が1でない(4)のような発展問題も、(3)を「縦と横を最大公約数で割った形」とつなげて考えれば、新しい公式を丸暗記せずに解けるようになります。

高松市で中学受験算数を本格的に学びたい方は、ぜひ一度ご相談ください。

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まとめ

• (1)はまず図をかいて、対角線が通過するタイルの枚数を実際に数える
• 黒くぬる枚数は「（縦×横−切断枚数）÷2」で求められる（点対称を利用）
• 対角線が通過する枚数（切断枚数）は「縦＋横−縦と横の最大公約数」で求まる
• 最大公約数が1のときは「縦＋横−1」とシンプルになる

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クローネ学園では、最難関中・医学部を目指す算数・数学の個別指導を行っています。 高松市で小学生向けの学習塾をお探しの方は高松市の小学生向け学習塾もあわせてご覧ください。無料体験・お問い合わせはこちらからどうぞ。